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求代数式的取值范围已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1,求P=

2013-05-15 12:26:09s***
已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1, 求P=√(13a+1)+√(13b+1)+√(13c+1)的取值范围。求代数式的取值范围已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1,求P=√(13a+1)+√(13b+1)+√(13c+1)的取值范围。:依Cauchy不等式知 [√(?

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  • 依Cauchy不等式知 [√(13a+1)+√(13b+1)+√(13c+1)]^2 ≤(1+1+1)[(13a+1)+(13b+1)+(13c+1)] =3[13(a+b+c)+3] =48, ∴P≤4√3. 又∵0≤a≤1 →1≤13a+1≤14 →1/[√(13a+1)+1]≥1/(1+√14) →[√(13a+1)-1]/13a≥(-1+√14)/13 →√(13a+1)≥1+(-1+√14)a. 同理可得: √(13b+1)≥1+(-1+√14)b √(13c+1)≥1+(-1+√14)c 三式相加,得 √(13a+1)+√(13b+1)+√(13c+1) ≥3+(-1+√14)(a+b+c) =2+√14, ∴P≥2+√14. 综上知,2+√14≤P≤4√3。
    2013-05-15 14:01:34
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