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求助一道平面几何证明在正三角形ABC中，D,E分别是AB和AC上

2006-09-12 13:25:29云***
在正三角形ABC中，D,E分别是AB和AC上的三等分点，BE和CD交于P点，求证AP垂直于CD.求助一道平面几何证明在正三角形ABC中，D,E分别是AB和AC上的三等分点，BE和CD交于P点，求证AP垂直于CD.：分析：要证AP⊥CD，即证∠APD=90°?

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  • 分析：要证AP⊥CD，即证∠APD=90°，似乎无路可走！可知要对三等分条件上下功夫！易证△AEB≌△BDC，∠AEB=∠BDC，A，D，P，E四点共圆，∠APD=∠AED，只须证明∠AED=90° 证明： 连结DE，取AD中点F，连结EF， 易知EF=1/3BC，AD=2/3AB=2/3BC， ∴EF=1/2AD，∠AED=90° ∵AE=BD=1/3AB，AB=BC，∠BAE=∠CBD， ∴△AEB≌△BDC， ∴∠AEB=∠BDC， ∴A，D，P，E四点共圆， ∴∠APD=∠AED=90° ∴AP⊥CD
    2006-09-12 20:12:42
  • 连结DE， 先把△BDC绕B点顺时针旋转60度，再沿BA平移，使B与A重合，可见△BDC与△AEB可以重合，因此∠EPC=60度==>∠EPD=120度==>A、D、P、E四点共圆==>∠APD=∠AED。 取AB边上另一个三等分点F，连结EF，可得EF=AF=FD，从而△ADE是直角三角形，得∠AED是直角，得∠APD是直角
    2006-09-12 16:07:12
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