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已知函数f(x)=x^2+alnx.若g(x)=f(x)+2/x?

2009-06-07 20:34:52
已知函数f(x) =x^2+alnx.若g(x)=f(x)+2/x在[1,正无穷）上是单调增函数，求实数a的取值范围已知函数f(x)=x^2+alnx.若g(x)=f(x)+2/x在[1,正无穷）上是单调增函数，求实数a的取值范围：已知函数f(x) =x^2+alnx.若g(?

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  • 已知函数f(x) =x^2+alnx.若g(x)=f(x)+2/x在[1,正无穷）上是单调增函数，求实数a的取值范围 g(x)=f(x)+(2/x)=x^2+alnx+(2/x) 所以：g'(x)=2x+(a/x)-(2/x^2)=(2x^3+ax-2)/x^2 因为x∈[1,+∞)，所以：x^2＞0 则，令h(x)=2x^3+ax-2 要满足g(x)在[1,+∞)上是单调增函数，则g'(x)在该区间上大于零，亦即函数h(x)在该区间上的最小值大于零 h'(x)=6x^2+a h''(x)=12x＞0 所以，h'(x)为单调增函数 所以，h'(x)在[1,+∞)上的最小值为h'(1)=6+a 所以，6+a＞0 则，a＞-6
    2009-06-08 00:40:37
  •   g(x)=f(x)+(2/x)=x^2+alnx+(2/x)， g'(x)=2x+(a/x)-(2/x^2)=(2x^3+ax-2)/x^2。 当x∈[1,+∞)时，g'(x)和h(x)=2x^3+ax-2同号。 【现在关键】要使h(x)在[1,+∞)上的最小值【不小于零】, ①在a＜-6时。
       在[1,+∞)上h(x)在[1,+∞)上有的最小值点为√(-a/6), 最小值为 h[√(-a/6)]=-2+[a√(-a/6)]/9＜0，不符合要求 ②在-6≤a＜0时。 h'(x)=6x^2+a的图形是开口向上的抛物线，h'(x)为[0,+∞)上的单调增函数。
       在[1,+∞)上的最小值为h'(x)≥h'(1)=6+a≥0， 在[1,+∞)上h(x)的最小值为h(1)=a＜0，也不符合要求。 ③在a≥0时 h'(x)=6x^2+a的图形是开口向上的抛物线，h'(x)为[0,+∞)上的单调增函数。
       在[1,+∞)上的最小值为h'(x)≥h'(1)=6+a≥0， 在[1,+∞)上h(x)的最小值为h(1)=a≥0，符合题意要求。 【结论】a≥0。 【注】这里第三段讨论本来不用单独分开，与②合并在一起讨论的，这里为了让提问者分清本解答与上面解答的区别，特别分开了。
       【我们要注意的是】h'(1)≥0与h(1)≥0没有必然的联系。
    2009-06-08 09:34:08
  • 求导数 g'(x)=2x+a/x-2/(x^2). g'(x)x^2于g'(x)在[1,+∞)上同号，g'(x)x^2=2x^3+ax-2的导数是6x^2+a. 想要在[1,+∞)上不变号，就要a>=-6.
    2009-06-07 20:42:29
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