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高中数学不等式证明若a的3次方加上b的3次方等于2、、、求证a加

2009-08-14 14:02:26g***
若a的3次方加上b的3次方等于2、、、求证a加b小于等于2、、高中数学不等式证明若a的3次方加上b的3次方等于2、、、求证a加b小于等于2、、： a^3+b^3=（a+b）(a^2-ab+b^2)=2=（a+?

最佳回答

  • a^3+b^3=（a+b）(a^2-ab+b^2)=2=（a+b）[(a+b)^2-3ab] ≥（a+b）｛ (a+b)^2-3[(a+b)^2/2] ｝=1/4*(a+b)^3 ————>a+b≤2 或者看附件 注意ab≤（a+b）^2/4
    2009-08-14 14:31:43
  • 已知a^3+b^3=2,求证:a+b2, 因为 2=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)[(a+b)^2-3ab] >=(a+b)[(a+b)^2-3(a+b)^2/4]=(a+b)^3/4, 即 (a+b)^3<=8, 所以 a+b<=2, 这与假设矛盾,于是知假设不成立。因此 a+b<=2.
    2009-08-19 00:17:04
  • a^3+b^3=2(a+b)[(a+b)^2-3ab]=2.由均值不等式得,ab= -3ab>=-3/4*(a+b)^2,以此代入前式,即(a+b)[(a+b)^2-3/4*(a+b)^2]=<2,整理得(a+b)^3=<8,开立方根即a+b=<2。本题还可用反证法,或柯西不等式的向量式来证明。
    2009-08-14 20:18:15
  •   a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab) ∴a+b=(a^3+b^3)/(a^2+b^2-ab) =2/(a^2+b^2-ab) （把a^3+b^3=2代入） =2/[(a+b)^2-3ab] ≤2/{(a+b)^2-3[(a+b)^2/4]} (把ab≤[(a+b)^2/4]代入） =2/[(a+b)^2 /4] =8/[(a+b)^2] 即 a+b≤8/[(a+b)^2] (a+b)^3≤8 ∴(a+b)≤2 注：ab≤[(a+b)^2/4 可由 (a-b)^2≥0 推出： a^2+b^2-2ab≥0 ab≤(a^2+b^2）/2 ab≤[(a+b)^2-2ab]/2 2ab≤[(a+b)^2-2ab] 4ab≤(a+b)^2 ∴ ab≤[(a+b)^2/4]。
      
    2009-08-14 16:33:37
  • 以b为自变量x,则a=(2-x^3)^(1/3),定义目标函数： f(x)= x+(2-x^3)^(1/3)； 其一二阶导函数分别为： f'(x)=1-x^2/(2-x^3)^(2/3); f"(x)=-2*x^4/(2-x^3)^(5/3)-2*x/(2-x^3)^(2/3); 由f'(x)=0，得到实根x=1; 当x=1时，f"(x)=-4<0,故f(x)取极大值2; 所以a+b<=2,当且仅当a=b=1时取等号。 注：求解f'(x)=0时，可以应用常用公式a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)将其处理一下。
    2009-08-14 14:52:10
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