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到三角形三个顶点距离和最小的点是哪儿？请给予证明不要用坐标法

2010-10-09 09:25:09青***
到三角形三个顶点距离和最小的点是哪儿？请给予证明。不要用坐标法。到三角形三个顶点距离和最小的点是哪儿？请给予证明。不要用坐标法。：引例：有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小?

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  •   引例：有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小？将此问题用数学模型抽象出来即为： 在△ ABC中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。 解法如下：分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点，则该点 即为所求P点。
       证明：如下图所示。连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。 ∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆 ∴∠APB=120° ， ∠APD=∠ABD=60° 同理：∠APC=∠BPC=120° 以P为圆心，PA为半径作圆交PD于F点，连结AF， 以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°，已证∠APD=60° ∴△APF为正三角形。
      ∴不难发现△ABP与△ADF重合。 ∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD 另在△ABC中任取一异于P的点G ，同样连结GA、GB、GC、GD，以B为轴心 将△ABG逆时针旋转60°，记G点旋转到M点。。 则△ABG与△BDM重合，且M或 在 线 段DG上 或 在DG外。
       GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。 从而CD为最短的线段。 以上是简单的费马点问题，将此问题外推到四点，可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点。 。
    2010-10-09 09:50:28
  • 即为三角形的重心，三角形的三条中线相交于一点，这个点即为距三点的距离最短
    2010-10-10 15:52:58
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