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已知A,B为抛物线x^2=2py(p＞0)上的点，直线AB过焦点?

2010-12-10 19:26:591***
（1）若向量OA·OB=-6，求抛物线的方程； （2）CD上是否恒存在一点K，使得向量KA·KB=0 （详解！！！！！！！！！！）已知A,B为抛物线x^2=2py(p＞0)上的点，直线AB过焦点F，A,B在准线上的射影分别为C,D（1）若向量OA·OB=-6，求抛物线的方程；（2）CD上是?

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  •   改 y^2=2px (1)OA。OB=X1X2+Y1Y2=-6 P^2/4+(-P^2)=-6 ===>p=2√2 ===>y^2=4√2 x (2)∠K=90 |AB|=|AF|+|FB|=X1+X2+p=|AC|+|DB| |AB|^2=|AK|^2+|KB|^2 =|AC|^2+|CK|^2+|KD|^2+|DB|^2 (1) AC/CK=KD/BD 2AC。
      BD=2KD。
      CK (2) |AB|^2=(|AC|+|BD|)^2+ (KD-DB)^2 (3) ====>KD=DB K(X3,Y3) (K<0) X3=0 Y3=|Y2-Y1|-X2-P/2 同理=====》x^2=2py 。
    2010-12-10 22:08:26
  •   抛物线x^2=2py(p＞0)①上的焦点为F(0,p/2),准线l:y=-p/2。 设过F的直线AB的方程为y=kx+p/2,② 代入①，整理得x^2-2kpx-p^2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2kp,x1x2=-p^2。
       由②，y1y2=(kx1+p/2)(kx2+p/2) =k^2*x1x2+(kp/2)(x1+x2)+p^2/4, 向量OA·OB=x1x2+y1y2 =(1+k^2)x1x2+(kp/2)(x1+x2)+p^2/4 =-(1+k^2)p^2+k^2*p^2+p^2/4 =(-3/4)p^2=-6, ∴p^2=8,p=2√2。
      抛物线的方程为x^2=(4√2)y。
       (2)设K(m,-p/2),则 向量KA=(x1-m,y1+p/2),KB=(x2-m,y2+p/2), KA·KB=(x1-m)(x2-m)+(y1+p/2)(y2+p/2) =x1x2-m(x1+x2)+m^2+y1y2+(p/2)(y1+y2)+p^2/4 =x1x2-m(x1+x2)+m^2+k^2*x1x2+(kp/2)(x1+x2)+p^2/4 +(p/2)[k(x1+x2)+p]+p^2/4 =(1+k^2)x1x2+(kp-m)(x1+x2)+p^2 =-(1+k^2)p^2+2kp(kp-m)+p^2 =k^2*p^2-2kmp=0, ∴m=kp/2,与AB的斜率k有关， ∴CD上不是恒存在一点K，使得向量KA·KB=0。
    2010-12-10 21:59:15
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