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判断通解与特解y1,y2,y3是方程y''+p(x)y'+q(x

2011-09-05 16:20:00a***
y1,y2,y3是方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，c1,c2为任意常数，则y=c1y1+c2y2+(1-c1-c1)y3是方程的（） A.通解 B.不是通解 C.特解 D.也许是通解，但一定不是特解判断通解与特解y1,y2,y3是方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，c1,c2为任意常数，则y=c1y1+c2y2+(1-c1-?

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  •   这里选项【A】是正确的， 选项【D】是错的，就所以很容易解释了。 ①用【反证法】证明 y1-y3和y2-y3线性无关 【若】y1-y3和y2-y3线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，使 k1*(y1-y3)+k2*(y2-y3)=0， 即k1*y1+k2*y2+(-k1-k2)*y3=0，其中k1，k2，-k1-k2不全为零， 则y1,y2,y3线性相关，不符合题意。
       ②由于y1-y3和y2-y3是齐次线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的特解， 且y1-y3和y2-y3线性无关，所以对于任意常数C1,C2来说 Y=C1*(y1-y3)+C2*(y2-y3)是齐次线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的通解。
       ③所以原非齐次方程的通解为y=Y+y3=C1*(y1-y3)+C2*(y2-y3)+y3 =C1*y1+C2*y2+(1-C1-C2)*y3。 即正确选项为【A】 。
    2011-09-09 20:26:38
  •   在常微分方程中，用自己通俗的语言解释：（不严密） 特解：就是给定的某个具体的解，解函数中一定不含任意常数，但可以含有常数。 通解： 1。要求所给函数首先必须满足方程，（隐式通解要求由隐函数决定的函数必须满足方程） 2。若方程是n阶方程，解函数中必须含有互不相关的n个任意 常数。
       齐次方程和非齐次方程解的关系： 1：两个非齐次方程的解的差一定是齐次方程的解。 2：非齐次方程的一个解加上齐次方程的一个解，是非齐次方程的一个解。 3：齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解，就是非齐次方程的通解。 对于本题： y1,y2,y3是非齐次方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，因此y1-y3和y2-y3都是齐次方程y''+p(x)y'+q(x)y=0 的解，并且根据题意可证它们的线性无关性。
      因此 y=c1(y1-y3)+c2(y2-y3),c1,c2为任意常数， 是齐次方程y''+p(x)y'+q(x)y=0 的通解。
       注意到 y=c1y1+c2y2+(1-c1-c2)y3=c1(y1-y3)+c2(y2-y3)+y3, c1,c2为任意常数， 故y=c1y1+c2y2+(1-c1-c2)y3 是非齐次方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的通解。
    2011-09-13 15:07:45
  • 特解一般没有任意常数。
    2011-09-09 14:38:08
  • 可以拆成y=c1(y1-y3)+c2(y2-y3)+y3,因为y1-y3和y2-y3都是方程的解（因为两个特解相减是对应齐次方程的解），又因为y1-y3和y2-y3线性无关，所以c1(y1-y3)+c2(y2-y3)是对应齐次方程的通解，再加上y3就是方程的特解，选C，但C1,C2不能全为0。
    2011-09-05 18:09:52
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