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高三的数学题，大家帮忙下，快考试了1、已知实数满足x^2+y^2

2005-08-24 18:52:30烦***
1、已知实数满足x^2+y^2=2x,求x^2y^2的取值范围。 2、用半径为R的圆铁皮，剪成一个圆心角为x的扇形，制成一个圆锥形的漏斗，当漏斗的容积最大时，X为多少？ 请详细的写出过程，需要画图的请画图高三的数学题，大家帮忙下，快考试了1、已知实数满足x^2+y^2=2x,求x^2y^2的取值范围。2、用半径为R的圆铁皮，剪成一个圆心角为x的扇形，制成一个圆锥?

最佳回答

  •    1: 由题知y^2=2x-x^2>=0,故0<=x<=2 x^2y^2=x^2(2x-x^2)=2x^3-x^4 令f(x)=2x^3-x^4,则 f'(x)=6x^2-4x^3 因为f'(x)在(0,3/2)上大于零,在(3/2,2]上小于零 故f(x)在x=3/2处取得最大值27/16 再比较f(0)与f(2)可知f(x)在x=0,2初均取得最小值0 所以x^2y^2的取值范围是[0,27/16] 2:注:pi指圆周率 由于圆心角为x,且铁皮半径为R,于是漏斗的底面周长为Rx,底面半径为Rx/2pi。
       而漏斗的母线即圆铁皮的半径，结合漏斗底边半径可算出漏斗的高 h=R*√(1-x^2/4pi^2) 由此即知漏斗容积为 V=1/3*h*S=R^3/24pi^2*√[x^4*(4pi^2-x^2)] 而x^4*(4pi^2-x^2)=x^2*x^2*(8pi^2-2x^2)/2 <={[x^2+x^2+(8pi-2x^2)]/3}^3 / 2 (利用a*b*c<=[(a+b+c)/3]^3) =(8pi/3)^3 / 2 当且仅当 x^2=8pi^2-2x^2 即x=2√6pi/3时等号成立 故本题答案为x=2√6pi/3 。
      
    2005-08-24 21:09:21
  • x=cosa+1,y=sina x^2y^2=(cosa+1)^2*(1-cosa^2)=(cosa+1)^3*3(1-cosa)/3<={[(3cosa+3+3-3cosa)/4]^4}/3=27/16 当且仅当cosa+1=3-3cosa cosa=0.5 即x=1.5 y=3^0.5/2 设底面半径为Rcosa,则高为Rsina V=pi*R^3*(cosa^2)*sina/3 又[(cosa^2)*sina]^2=cosa^4(2-2cosa^2)/2<=[(2cosa^2+2-2cos^2)/3]^3/2=4/27 cosa=2-2cosa cosa=2/3 x=Rcosa*2pi/R=4*pi/3 pi为圆周率
    2005-08-24 20:22:41
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