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高一一道对数最值问题已知log以9为底X的对数=log以3为底Y

2006-04-22 06:51:05y***
已知log以9为底X的对数=log以3为底Y的对数的平方， 1) 如果X=3Y,求X,Y的值； 2) X，Y为何值时 X/Y取得最小值，此最小值是多少？高一一道对数最值问题已知log以9为底X的对数=log以3为底Y的对数的平方，1)如果X=3Y,求X,Y的值；2)X，Y为何值时X/Y取得最小值，此最小值是多少?

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  •   已知log(9)x = [log(3)y]^2，(1) 如果x = 3y，求X、Y的值； (2) x、y为何值时，X/Y取得最小值，此最小值是多少？ log(9)x = [log(3)y]^2 log(3)x/log(3)9 = [log(3)y]^2 (1/2)log(3)x = [log(3)y]^2 …… (*) (1/2)log(3)3y = [log(3)y]^2 (1/2)log(3)3 + (1/2)log(3)y = [log(3)y]^2 设 s = log(3)y，原式变为 s^2 - (1/2)s - 1/2 = 0 (s - 1)(s + 1/2) = 0 log(3)y1 = s1 = 1，y = 3，log(3)y2 = s2 = -1/2，y2 = √3/3 所以x1 = 3y1 = 9，x2 = 3y2 = √3 log(3)(x/y) = log(3)x - log(3)y = 2[log(3)y]^2 - log(3)y … (引用*式结果) 设 t = log(3)y，则原式 = 2t^2 - t = 2[t^2 - (1/2)t] = 2[t^2 - (1/2)t + (-1/4)^2 - (-1/4)^2] = 2[(t - 1/4)^2 - 1/16] 可见，当t = 1/4时，log(3)(x/y)有最小值，且最小值是:-1/8。
       。
    2006-04-22 16:57:15
  • log(9)x=log(3)y --->[log(3)x]/3=log(3)y --->logx=3logy --->logx=log(y^3) --->x=y^3 1)因为x=3y--->3y=y^3 y>0--->y^2=3--->y=√3 & x=3y=3√3. 2)x/y=(y^3)/y=y^2 因为x、y都是真数，所以y^2>0 于是xy∈R+，没有最大、最小值。
    2006-04-22 16:02:23
  • ∵log以9为底X的对数=log以3为底Y的对数的平方，∴X=Y^2 1)∵ X=3Y,Y^2=3Y,Y>0.∴X=9,Y=3. 2) X=Y=1, X/Y取得最小值，X/Y最小值=1.
    2006-04-22 07:56:19
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