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数学三角形求证求证：1）三角形的三条角平分线之和（L1+L2+L

2008-02-17 16:36:34源***
求证： 1）三角形的三条角平分线之和（L1+L2+L3) 小于 三角形的三条边之和(a1+a2+a3)。 2）(1/L1+1/L2+1/L3) 大于 (1/a1+1/a2+1/a3)数学三角形求证求证：1）三角形的三条角平分线之和（L1+L2+L3)小于三角形的三条边之和(a1+a2+a3)。2）(1/L1+1/L2+1/L3)大于(1/a?

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  •   以下证明均采用国标统一标识。 命题1 设三角形ABC的三边长分别为a,b,c，三角形ABC的内角平分线依次为wa,wb,wc，周长2s=a+b+c。求证 2s>wa+wb+wc 其实有更强式: s√3≥wa+wb+wc 证明 据三角形ABC的内角平分线公式: (wa)^2=4s(s-a)bc/(b+c)^2， 显然有: (wa)^2≤s(s-a)， 同样方法可得: (wb)^2≤s(s-b); (wc)^2≤s(s-c)。
       故有 (wa+wb+wc)^2≤3[(wa)^2+(wb)^2+(wc)^2]≤s(s-a)+s(s-b)+s(s-c) =3s^2。 故得: (wa+wb+wc)^2≤3s^2 两边开方即得:s√3≥wa+wb+wc 命题2 设三角形ABC的三边长分别为a,b,c，三角形ABC的内角平分线依次为wa,wb,wc。
      求证 1/wa+1/wb+1/wc>1/a+1/b+1/c 证明 因为 a^2>(b-c)^2 4bc>(b+c)^2-a^2=4s(s-a) 两边开方 √bc>√[s(s-a)] bc>√[s(s-a)bc] 2bc/(b+c)>wa 2/wa>1/b+1/c。
       同样可得:2/wb>1/c+1/a: 2/wc>1/a+1/b。 上述三式相加即得所证不等式。 。
    2008-02-17 18:42:00
  • 1)由面积公式和面积关系,得L1=2a1a2Cos(A/2)/(a1+a2)(1/a1+1/a2)/2,同理得L2、L3,故1/L1+1/L2+1/L3>1/a1+1/a2+1/a3。(注:手机限制只列思路)
    2008-02-17 18:00:44
  • 1。三条边在平分求证 2。有点难
    2008-02-17 17:32:47
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