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有一道数学题不会，帮帮忙啊！！已知三角形ABC中，AB=AC=a

2009-07-18 11:01:481***
已知三角形ABC中，AB=AC=a，角BAC=φ，等边三角形PQR的三边分别过A，B，C，三点。试求三角形PQR的面积的最大值。 有一道数学题不会，帮帮忙啊！！已知三角形ABC中，AB=AC=a，角BAC=φ，等边三角形PQR的三边分别过A，B，C，三点。试求三角形PQR的面积的最大值。：?

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  •   解：如图 ∵△PQR是正△ ∴PQ=PR=QR=b ∠APB=∠AQC=∠BRC=60° 根据正弦定理： AP/sin∠PBA=AB/sin∠APB=a/sin60°=AQ/sin∠ACQ AP+AQ=PQ=b=[a/sin60°][sin∠PBA+sin∠ACQ] ∵AB=AC=a ∠BAC=φ ∴∠ABC=∠ACB=90°-（φ/2） ∠PBA+∠ACQ=180°-[90°-（φ/2）]-∠CBR+180°-[90°-（φ/2）]-∠BCR =180°+φ-[∠CBR+BCR] =180°+φ-[180°-60°]=60°+φ b=[a/sin60°][sin∠PBA+sin∠ACQ] =2[a/sin60°]{sin[（∠PBA+∠ACQ）/2]}×{cos[∠PBA-∠ACQ]/2} =2[a/sin60°]{sin（30°+φ）}×cos[∠PBA-∠ACQ]/2} 当且仅当∠PBA=∠ACQ=60°时。
      b达到最大值 △PQR的面积S=（√3/4）b＾也同时达到最大值。 此时图形为第一个回答者所画图形 。
    2009-07-18 14:57:36
  • 三角形PQR的面积取最大值时：等边三角形PQR的中心在三角形ABC的外心，即外接圆圆心，设其半径为R， 由正弦定理得：2R=a/sinφ 三角形PQR的边长：√3R 此时，三角形PQR的面积:(√3/4)(√3R)^2=(3√3/16)(a/sinφ)^2
    2009-07-18 13:08:25
  • 图形
    2009-07-18 13:06:14
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