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初中数学竞赛题设△ABC的三边长BC=a,CA=b,AB=c上的

2010-01-26 16:59:41林***
设△ABC的三边长BC=a,CA=b,AB=c上的高与内角平分线分别为ha，hb，hc，wa，wb，wc，外接圆与内切圆的半径分别为R,r. 求证:ha/(wa)^2+hb/(wb)^2+hc/(wc)^2=1/R+1/2r 初中数学竞赛题设△ABC的三边长BC=a,CA=b,AB=c上的高与内角平分线分别为ha，hb，hc，wa，wb，wc，外接圆与内切圆的半径分别为R,r.求证:?

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  •   设△ABC的三边长a,b,c上的高与内角平分线分别为ha，hb，hc，wa，wb，wc，外接与内切圆半径分别为R,r。 求证:ha/(wa)^2+hb/(wb)^2+hc/(wc)^2=1/R+1/2r。 证明 记△ABC的面积为△, 周长为s。
      则有 (wa)^2=4bcs(s-a)/(b+c)^2, △=a*ha/2=abc/(4R)=s*r=√[(s-a)(s-b)(s-c)s] Σha/(wa)^2=Σ△(b+c)^2/[2abcs(s-a)] =[△/(abcs)]* Σ(b+c)^2/(b+c-a) ={△/[abcs(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)]}*Σ(b+c)^2(c+a-b)(a+b-c) 注意恒等式: △/[abcs(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)]=1/(32R*s^2*r^2) 而Σ(b+c)^2(c+a-b)(a+b-c) =Σ[a^2(b+c)^2-(b^2-c^2)^2] =Σ[a^2*b^2+a^2*c^2+2a^2bc-b^4-c^4+2b^2*c^2] =4Σb^2*c^2-2Σa^4+2abc(a+b+c) =32△^2+16R*s^2*r=16s^2*r*(R+2r) 所以 Σha/(wa)^2=16s^2*r*(R+2r)/(32R*s^2*r^2)=1/R+1/2r。
       。
    2010-01-26 20:58:13
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