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求直线方程急哦速帮帮已知椭圆C:4X^2+Y^2=1及直线L

2010-10-13 20:52:38差***
已知椭圆C:4X^2+Y^2=1及直线L:y=X+M,求直线L被椭圆C截得的弦中点的轨迹,若之嫌L交椭圆C于PQ两点,且OP垂直于OQ求直线L的方程......过程。。谢谢 求直线方程。急哦。速帮帮已知椭圆C:4X^2+Y^2=1及直线L:y=X+M,求直线L被椭圆C截得的弦中点的轨迹,若之嫌L交椭圆C于PQ两点,且OP垂直于OQ求?

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  •   已知椭圆C:4X^2+Y^2=1及直线L:y=X+M,求直线L被椭圆C截得的弦中点的轨迹,若之嫌L交椭圆C于PQ两点,且OP垂直于OQ求直线L的方程 联立椭圆与直线方程有：4x^2+(x+m)^2=1 ===> 4x^2+x^2+2mx+m^2-1=0 ===> 5x^2+2mx+(m^2-1)=0…………………………………………（1） 所以，x1+x2=-2m/5 则，y1+y2=(x1+m)+(x2+m)=(x1+x2)+2m=(-2m/5)+2m=8m/5 那么，弦中点的横坐标为X=(x1+x2)/2=-m/5，纵坐标为Y=(y1+y2)/2=4m/5 所以：Y=-4X 即，中点的轨迹方程为y=-4x 设点P(x1,y1)，点Q(x2,y2) 则Kop=(y1/x1)，Koq=(y2/x2) 已知OP⊥OQ，则：Kop*Koq=-1 即：(y1/x1)*(y2/x2)=-1 ===> (y1y2)/(x1x2)=-1……………………………………………（2） 由(1)式得到：x1*x2=(m^2-1)/5 而，y1*y2=(x1+m)*(x2+m)=x1*x2+m(x1+x2)+m^2 =(m^2-1)/5+m*(-2m/5)+m^2 =(4m^2-1)/5 代入(2)就有：(4m^2-1)/5=(1-m^2)/5 ===> 4m^2-1=1-m^2 ===> 5m^2=2 ===> m^2=2/5 ===> m=±√10/5 所以直线方程为：y=x±(√10/5)。
      
    2010-10-13 21:42:42
  •   【1】设中点为A(X,Y)， y=x+M代入4x^2+y^2=1得到5x^2+2Mx+M^2-1=0， 根据韦达定理可得：x1+x2=-2M/5 X=(x1+x2)/2=(-2M/5)/2=-M/5，Y=(y1+y2)/2=[(x1+M)+(x2+M)]/2=4M/5， 截得的弦中点A(X,Y)的轨迹为X=-M/5，Y=4M/5，即Y=-4X。
       【2】根据韦达定理可得：x1*x2=(M^2-1)/5， y1*y2=(x1+M)*(x2+M)=x1*x2+M(x1+x2)+M^2=(M^2-1)/5+M*(-2M/5)+M^2=(4M^2-1)/5。 若直线L交椭圆C于PQ两点,且OP垂直于OQ，即Kop*Koq=-1， 也就是：(y1/x1)*(y2/x2)=-1，x1*x2+y1*y2=0。
       由此得到 5M^2=2，M=√10/5或-√10/5， 所求直线L的方程有两个解，即两条直线，其非常分别为： 5y=5x+√10为5y=5x-√10。 。
    2010-10-13 21:50:40
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