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数学已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点

2011-05-01 18:12:27少***
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右焦点），且以A,B为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。数学已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右焦点?

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  • 2a=3+1=4 所以a=2 2c=4-1*2=2 所以c=1，所以b^2=3 所以椭圆方程为：(x^2)/4+(y^2)/3=1
    2011-05-01 22:14:33
  •   设椭圆方程：(bx)²+(ay)²-(ab)²=0,由ac=3,a-c=1,得a=2,c=1, ∴ b²=3, 椭圆方程：3x²+4y²-12=0,与y=kx+m联立,得 (3+4k²)x²+8kmx+4m²-12=0。
      设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-8km/(3+4k²)···①,x1x2=(4m²-12)/(3+4k²)···②。 以A,B为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,它过C的右顶点(2,0),∴ (2-x1)(2-x2)+y1y2=0, ∵ y1y2=k²x1x2+mk(x1+x2)+m², ∴ (1+k²)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+m²+4=0,以①,②代入,可得7m²+16mk+4k²=0, ∴ m=-2k/7或m=-2k。
       ∴ 直线L：y=k(x-2/7)或y=k(x-2)。 ∴ 直线L过定点(2/7,0)或(2,0)。
    2011-05-01 21:27:41
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