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如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题？

2005-10-04 22:23:50紫***
如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题？：如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题？ 1）.先说明尺规作图可能问题： 　　一个作图题中的所作的未知量，?

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  •   如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题？ 1）。先说明尺规作图可能问题： 　　一个作图题中的所作的未知量，若能由若干已知量经过有限次的有理运算及开平方算出时，这个作图题便能由尺规作出。 2）。定理： 　　一个一元三次方程若它没有有理根，则长度等于它的任何实数根的线段是不能用尺规作出的。
       3）。证明尺规作图三等分任意角是不可能的： 　　如图：设已知角为3a ,平分后的每一个角为a ,作单位圆交角于A、B、C 过B作BD⊥OA于D，过C作CE⊥OA于E　， 令OD＝m ,OE=x ,则m=cos(3a) ,x=cosa ,代入三角恒等式中： cos(3a)= 4*(cosa)^3 - 3*cosa 得：4x^3 -3x -m = 0 由于在一般的情况下4x^3 -3x -m = 0 不是都有有理根(艾森斯坦因判别法) 所以根据上面的定理，任意三等分角用尺规作出是不可能的。
       。
    2005-10-05 08:50:49
  • 这是一个古老、复杂的问题，多年以前已经得到解决，试着解释一下。 使用直尺作图等价于写出二元一次方程，使用圆规约略等价于写出二元二次方程，得到交点等价于解出二元二次方程组方程组，这个解一定是有理数（少数）或二次根数（多数）。 三等分角等价于已知已知一个角的三角函数值，要求这个角的三分之一的三角函数值。例如已知s=tan3A 求x=tanA. 因为tan3A=[3tanA-(tanA)^3]/[1-3(tanA)^2] 可以得到: x^3- 3sx^2-3x+s=0. 要解这个方程，一般地使用三次方程求根公式（Cardan formnla).（简单的不用）使用这个得出的根一般的是三次根数（极少数是有理数）。只使用二次方程是无法得到的。所以在一般情况下只用尺规三等分角是不可能的。 当然不排除极少数特殊的角能够三等分，例如90度、45度。
    2005-10-05 08:37:20
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