设二次函数F(X)=ax2+bx+c(a,b,c∈X)满足下列条?
2009-08-21 21:04:59s***
设二次函数F(X)=ax2+bx+c(a,b,c∈X)满足下列条件:(1)当X∈R时,F(X)的最小值为0,且F(X-1)=F(-X-1)成立:
(2)当X∈(0,5)时,X≤F(X)≤2/X-1/+1恒成立。
1.求F(1)的值
2.求F(X)的解析式
3.求最大的实数M(M>1),使得存在实数T,只要当X∈[1,M]时,就有F(X+T)≤X成立
设二次函数F(X)=ax2+bx+c(a,b,c∈X)满足下列条件:(1)当X∈R时,F(X)的最小值为0,且F(X-1)=F(-X-1)成立:(2)当X∈(0?
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2009-08-21 21:19:29
令其中的x等于1, 则有 1≤F(1)≤2|1-1|+1, 即1≤F(1)≤1,所以 F(1)=1 。 (2)F(X-1)=F(-X-1) 所以二次函数F(X)=a*x^2+b*x+c的图形以x=-1为对称轴(a,b,c∈X), 即 F(X)=a(x+1)^2+k, 当X∈R时,F(X)的最小值为0,所以必有a>0,k=0。
即 F(X)=a(X+1)^2。 又因为F(1)=1,所以a=1/4,即F(X)=(1/4)*(X+1)^2。 (3)设G(T)=F(X+T)-X=(1/4)*(X+T+1)^2-X =(1/4)*[T^2+2*(X+1)*T+(X-1)^2] 按题意的关键要求是“存在T,使G(T)≤0成立”, 由于G(T)是二次函数,其图形是开口向上的抛物线, 所以要使G(T)≤0有解,必须有△≥0成立, 即[2*(X+1)]^2-4*(X-1)^2≥0,解之得X≥0.在X≥0时, 不等式T^2+2*(X+1)*T+(X-1)^2≤0的解为-(X+1)-2√x≤T≤-(X+1)+2√x, 即-(1+√X)^2≤T≤-(1-√X)^2。
记解集[-(1+√X)^2,-(1-√X)^2]为U(X),在X≥0时, 由于U(X)的左端点和右端点都单调减少, 即1≤M时,-(1+√M)^2≤-(1+√1)^2,-(1+√M)^2≤-(1+√1)^2 所以按题意要求两个集合U(1)与U(M)之交集非空, 所以必须有-(1+√1)^2≤-(1-√M)^2,解得M≤9. 【结论】M的最大值为9.。
2009-08-22 08:55:44
求最大的实数M(M>1),使得存在实数T,只要当X∈[1,M]时,就有F(X+T)≤X成立 。 谢谢山路水桥给我指出来错误!我重新考虑如下: 解: 当 X=1 时,要使 F(X+T)≤X成立,即 (1/4)[(1+T+1)^2]≤1 可得 -4≤ T≤0 取 T=0,X=M ,要使 F(X+T)≤X 成立,即 F(M+0)≤M (1/4)[(M+0+1)^2]≤M ,得 M=1 取 T=-4,X=M ,要使 F(X+T)≤X 成立,即 F(M-4)≤M (1/4)[(M-4+1)^2]≤M ,得 1≤M≤9 由上可知,M应在1到9之间。
故取 M=9,就存在 T=-4,只要当X∈[1,M]时,就有F(X+T)≤X成立 。 即,能满足要求的最大实数是 M=9 改完后看到了山路水桥的解答,我的结果和他相同,看来会是正确的了。山路水桥的解答比较深奥,可能推理比较严密周到,我没系统学过集合,理解不深。
但他没给出T值,不知用他的方法算出T值来,是否和我一样? 。
2009-08-22 00:04:43
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