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αβγ为任意三角形的三个内角α、β、γ为任意三角形的三个内角,求

2011-01-22 10:40:069***
α、β、γ为任意三角形的三个内角,求证:sin(α/2)sin(β/2)sin(γ/2)≤1/8.αβγ为任意三角形的三个内角α、β、γ为任意三角形的三个内角,求证:sin(α/2)sin(β/2)sin(γ/2)≤1/8.：证明: 令sin(α/2)si?

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  • 证明: 令sin(α/2)sin(β/2)sin(γ/2)=x. ∵sin(α/2)sin(β/2) =1/2*{cos[(α-β)/2]-cos[(α+β)/2]} =1/2*{cos[(α-β)/2]-sin(γ/2)} ∴1/2*sin(γ/2)cos[(α-β)/2]-[sin(γ/2)]^2=x 即[sin(r/2)]^2-cos[(α-β)/2]sin(γ/2)+2x=0 因判别式不小于0, ∴△={cos[(α-β)/2]}^2-8x≥0 即x≤1/8*{cos[(α-β)/2]}^2≤1/8. 证毕.
    2011-01-22 11:45:31
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