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已知双曲线过点P（3,4），它的一条渐近线方程为2x+y=0(1

2011-03-05 22:32:23a***
(1)求双曲线的标准方程和它的半焦距； （2）在双曲线上是否存在这样的点M，它到两渐近线的距离之积等于或超过双曲线的半焦距？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。已知双曲线过点P（3,4），它的一条渐近线方程为2x+y=0(1)求双曲线的标准方程和它的半焦距；（2）在双曲线上是否存在这样的点M，它到两渐近线的距离之积等于?

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  • (1) ∵一条渐近线方程为2x+y=0, ∴ 双曲线的渐近线方程为4x²-y²=0, 设双曲线的方程为4x²-y²=|λ|(λ>0时,焦点在x轴上,λ<0时,焦点在y轴上λ=0时为渐进线方程). ∵ 点P(3,4)在双曲线上, ∴ |λ|=4×9-16=20,,λ=±20,双曲线方程为4x²-y²=±20. (2) 半焦距c=5.假设在双曲线上存在点M(x',y'),它到渐进线的距离为d1=|2x'+y'|/√5,d2=|2x'-y'|/√5,则 d1·d2=|4x'²-y'²|/5=|±20|/5=4<5=c, ∴ 在双曲线上不存在点M,使d1·d2≥c.
    2011-03-06 15:36:37
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