已知一个数列的递推公式、如何求解它的通项公式
2018-05-20 02:04:34疯***
已知一个数列的递推公式、如何求解它的通项公式。:公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。<br/?
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类型一
归纳—猜想—证明
由数列的递推公式可写出数列的前几项,再由前几项总结出规律,猜想出数列的一个通项公式,最后用数学归纳法证明.
类型二
“逐差法”和“积商法”
(1)当数列的递推公式可以化为an 1-an=f(n)时,取n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子:
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1),
且f(1) f(2) … f(n-1)可求得时,两边累加得通项an,此法称为“逐差法”.
(2)当数列的递推公式可以化为an 1/an=f(n)时,令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子,即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n-1),且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时,两边连乘可求出an,此法称为“积商法”.
类型三
构造法
递推式是pan=qan-1 f(n)(p、q是不为零的常数),可用待定系数法构造一个新的等比数列求解.
类型四
可转化为类型三求通项
(1)“对数法”转化为类型三.
递推式为an 1=qank(q>0,k≠0且k≠1,a1>0),两边取常用对数,得lgan 1=klgan lgq,令lgan=bn,则有bn 1=kbn lgq,转化为类型三.
(2)“倒数法”转化为类型三.
递推式为商的形式:an 1=(pan b)/(qan c)(an≠0,pq≠0,pc≠qb).
若b=0,得an 1=pan/(qan c).因为an≠0,所以两边取倒数得1/an 1=q/p c/pan,令bn=1/an,则bn 1=(c/p)bn q/p,转化为类型三.
若b≠0,设an 1 x=y(an x)/qan c,与已知递推式比较求得x、y,令bn=an x,得bn 1=ybn/qan c,转化为b=0的情况.
类型五
递推式为an 1/an=qn/n k(q≠0,k∈N)
可先将等式(n k)an 1=qnan两边同乘以(n k-1)(n k-2)…(n 1),得(n k)(n k-1)(n k-2)…(n 1)an 1=q(n k-1)(n k-2)…(n 1)nan,令bn=(n k-1)(n k-2)…(n 1)•nan,则bn 1=(n k)(n k-1)(n k-2)…(n 1)an 1.
从而bn 1=qbn,因此数列{bn}是公比为q,首项为b1=k(k-1)(k-2)…2•1•a1=k!a1的等比数列,进而可求得an.
总之,由数列的递推公式求通项公式的问题比较复杂,不可能一一论及,但只要我们抓住递推数列的递推关系,分析结构特征,善于合理变形,就能找到解决问题的有效途径.
类型一归纳—猜想—证明
由数列的递推公式可写出数列的前几项,再由前几项总结出规律,猜想出数列的一个通项公式,最后用数学归纳法证明.
例1设数列{an}是首项为1的正项数列,且(n 1)a2n 1-nan2 an 1an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式是an=______________.(2000年全国数学卷第15题)
解:将(n 1)a2n 1-nan2 an 1an=0(n=1,2,3,…)分解因式得(an 1 an)〔(n 1)an 1-nan〕=0.
由于an>0,故(n 1)an 1=nan,即an 1=n/(n 1)an.
因此a2=(1/2)a1=(1/2),a3=(2/3)a2=(1/3),….猜想an=(1/n),可由数学归纳法证明之,证明过程略.
类型二“逐差法”和“积商法”
(1)当数列的递推公式可以化为an 1-an=f(n)时,取n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子:
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1),
且f(1) f(2) … f(n-1)可求得时,两边累加得通项an,此法称为“逐差法”.
例2已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1 an-1(n≥2),证明:an=(3n-1)/2.
(2003年全国数学卷文科第19题)
证明:由已知得an-an-1=3n-1,故
an=(an-an-1) (an-1-an-2) … (a2-a1) a1=3n-1 3n-2 … 3 1=3n-1/2.
所以得证.
(2)当数列的递推公式可以化为an 1/an=f(n)时,令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子,即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n-1),且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时,两边连乘可求出an,此法称为“积商法”.
例3(同例1)(2000年全国数学卷第15题)
另解:将(n 1)a2n 1-nan2+an 1an=0(n=1,2,3,…)化简,得(n 1)an 1=nan,即
an 1/an=n/(n 1).
故an=an/an-1•an-1/an-2•an-2/an-3•…•a2/a1=n-1/n•n-2/n-1•n-3/n-2•…•1/2=1/n.
类型三构造法
递推式是pan=qan-1 f(n)(p、q是不为零的常数),可用待定系数法构造一个新的等比数列求解.
例4(同例2)(2003年全国数学卷文科第19题)
另解:由an=3n-1 an-1得3•an/3n=an-1/3n-1 1.
令bn=an/3n,则有
bn=1/3bn-1 1/3.(*)
设bn x=1/3(bn-1 x),则bn=1/3bn-1 1/3x-x,与(*)式比较,得x=-1/2,所以bn-1/2=1/3(bn-1-1/2).因此数列{bn-1/2}是首项为b1-1=a1/3=-1/6,公比为1/3的等比数列,所以bn-1/2=-1/6•(1/3)n-1,即an/3n-1/2=-1/6(1/3)n-1.故an=3n〔1/2-1/6(1/3)n-1〕=3n-1/2.
例5数列{an}中,a1=1,an 1=4an 3n 1,求an.
解:令an 1 (n 1)x y=4(an nx y),则
an 1=4an 3nx 3y-x,与已知an 1=4an 3n 1比较,得
3x=3,所以
x=1,
3y-x=1,y=(2/3).
故数列{an n (2/3)}是首项为a1 1 (2/3)=(8/3),公比为4的等比数列,因此an n (2/3)=(8/3)•4n-1,即
an=(8/3)•4n-1-n-(2/3).
另解:由已知可得当n≥2时,an=4an-1 3(n-1) 1,与已知关系式作差,有an 1-an=4(an-an-1) 3,即an 1-an 1=4(an-an-1 1),因此数列{an 1-an 1}是首项为a2-a1 1=8-1 1=8,公比为4的等比数列,然后可用“逐差法”求得其通项an=(8/3)•4n-1-n-(2/3).
类型四可转化为
类型三求通项
(1)“对数法”转化为
类型三.
递推式为an 1=qank(q>0,k≠0且k≠1,a1>0),两边取常用对数,得lgan 1=klgan lgq,令lgan=bn,则有bn 1=kbn lgq,转化为
类型三.
例6已知数列{an}中,a1=2,an 1=an2,求an.
解:由an 1=an2>0,两边取对数得lgan 1=2lgan.令bn=lgan则bn 1=2bn.因此数列{bn}是首项为b1=lga1=lg2,公比为2的等比数列,故bn=2n-1lg2=lg22n-1,即an=22n-1.
(2)“倒数法”转化为
类型三.
递推式为商的形式:an 1=(pan b)/(qan c)(an≠0,pq≠0,pc≠qb).
若b=0,得an 1=pan/(qan c).因为an≠0,所以两边取倒数得1/an 1=q/p c/pan,令bn=1/an,则bn 1=(c/p)bn q/p,转化为
类型三.
若b≠0,设an 1 x=y(an x)/qan c,与已知递推式比较求得x、y,令bn=an x,得bn 1=ybn/qan c,转化为b=0的情况.
例7在数列{an}中,已知a1=2,an 1=(3an 1)/(an 3),求通项an.
解:设an 1 x=y(an x)/an 3,则an 1=(y-x)an (y-3)x/an 3,结合已知递推式得
y-x=3,所以
x=1,
y-3=1,y=4,
则有an 1 1=4(an 1)/an 3,令bn=an 1,则bn 1=4bn/bn 2,求倒数得1/bn 1=1/2•1/bn 1/4,即1/bn 1-1/2=1/2(1/bn-1/2).
因此数列{1/bn-1/2}是首项为1/b1-1/2=1/a1 1-1/2=-1/6,公比为1/2的等比数列.
故1/bn-1/2=(-1/6)(1/2)n-1,从而可求得an.
类型五递推式为an 1/an=qn/n k(q≠0,k∈N)
可先将等式(n k)an 1=qnan两边同乘以(n k-1)(n k-2)…(n 1),得(n k)(n k-1)(n k-2)…(n 1)an 1=q(n k-1)(n k-2)…(n 1)nan,令bn=(n k-1)(n k-2)…(n 1)•nan,则bn 1=(n k)(n k-1)(n k-2)…(n 1)an 1.
从而bn 1=qbn,因此数列{bn}是公比为q,首项为b1=k(k-1)(k-2)…2•1•a1=k!a1的等比数列,进而可求得an.
例8(同例1)(2000年全国数学卷第15题)
另解:将(n 1)a2n 1-na2n an 1an=0(n=1,2,3,…),化简得(n 1)an 1=nan,令nan=bn,则bn 1=bn,所以数列{bn}是常数列,由于首项b1=1•a1=1,所以bn=1,即nan=1,故an=1/n.
总之,由数列的递推公式求通项公式的问题比较复杂,不可能一一论及,但只要我们抓住递推数列的递推关系,分析结构特征,善于合理变形,就能找到解决问题的有效途径.。
2018-05-20 04:23:37
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