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求证的问题已知:ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a的立方+

2005-10-02 11:11:16月***
已知:ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是 a的立方+b的立方+ab-a的平方-b的平方=0 求证的问题已知:ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a的立方+b的立方+ab-a的平方-b的平方=0：证明：①先证充分性成立： ∵ab≠0,a+b=1,?

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  • 证明：①先证充分性成立： ∵ab≠0,a+b=1,即b=1-a, ∴a3+b3+ab-a2-b2 ＝a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2 ＝a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2 ＝0 ②再证必要性成立： ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0. a3+b3+ab-a2-b2=0， 即 (a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0， (a2-ab+b2)(a+b-1)=0. ∵a2-ab+b2≠0， ∴a+b=1. 由①、②知，p是q的充分必要条件.
    2005-10-02 11:15:06
  • 已知: ab≠0, 求证: a+b =1 的充要条件是 a^3 + b^3 + ab - a^2 - b^2 = 0 . 证明： 在　ab≠0　的前提下， 显然有 b ≠ 0 所以 a^2 - ab + b^2 = (a - b/2)^2 + (3/4)b^2 > 0 于是　 a^3 + b^3 + ab - a^2 - b^2 = 0 . 　 (a+b)(a^2 - ab + b^2) + ab - a^2 - b^2 = 0 　 (a+b-1)(a^2 - ab + b^2) = 0　　—————————— ★ 　 a + b - 1 = 0 　 a + b = 1 说明：即使要按“充分性”、“必要性”分开来证，最好也是在“等价”到 ★ 式后再分。
    2005-10-02 11:54:00
  • :充分性:a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0时,(a+b)(a^2-ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)= (a^2-ab+b^2)(a+b-1)=0,因为a^2-ab+b^2=(a-b/2)^2+3b^2/4>0,所以只能a+b-1=0 即a+b=1 :必要性:a+b=1时:a^3+b^3+ab-a^2-b^2=(a+b)(a^2-ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)= (a^2-ab+b^2)(a+b-1)=0,即a^3+b^3+ab-a^2-b^2=0 综上得:a+b=1的充要条件是 a的立方+b的立方+ab-a的平方-b的平方=0
    2005-10-02 11:16:56
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