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平面解析几何难题！急，越快越好！已知点P在直线y＝2上运动，O为

2006-10-18 23:50:54清***
已知点P在直线y＝2上运动，O为坐标原点，Q在x轴上运动，PQ的中点在y轴上，直线l与OP垂直，求直线l与PQ 的交点R的轨迹方程。平面解析几何难题！急，越快越好！已知点P在直线y＝2上运动，O为坐标原点，Q在x轴上运动，PQ的中点在y轴上，直线l与OP垂直，求直线l与PQ的交点R的轨迹方程?

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  •   平面解析几何难题！--清风 已知点P在直线y＝2上运动，O为坐标原点，Q在x轴上运动，PQ的中点在y轴上，直线l与OP垂直，求直线l与PQ的交点R的轨迹方程。 补充：直线l应通过某点，否则无唯一解。 设P的坐标为P(x,2)，PQ的方程为：Y-2=(X-x)/x。
       OP的方程为：Y=2X/x。 直线l的方程为：Y=-xX/2。 联立解以上两方程(消去x)得： X^2+2Y^2-2Y=0。 此为一中心在(0,1/2)、a=√2/2、b=1/2的椭圆。 补充： 设直线l过点U(u,v)，其方程为：Y-v=-x(X-u)/2。
       则与PQ的方程：Y-2=(X-x)/x联立解(消去x)得： X^2+2Y^2-uX-2(v+1)Y+2v=0，或 (X-u/2)^2+2[Y-(v+1)/2]^2=[u^2+2(v-1) ^2]/4。 此为一中心在[u/2, (v+1)/2]、过点(0,1)和点U(u,v)、a^2=[u^2+2(v-1)^2]/4、b^2=[u^2+2(v-1) ^2]/8的椭圆。
       所以本题的解是一族过点(0,1)和某点的椭圆。 见下图。 。
    2006-10-19 05:03:41
  • 设P（X1,2),Q(x2,0),PQ中点M的坐标（x1+x2）/2，1）∵点M在y轴上，x1+x2=0，∴M（0，1） PQ方程y-1=（1/x1)(x-0）=x/x1…① OP方程y=2x/x1 ,L⊥OP，∴设L的方程xx1+2y+n=0，即x1=-（2y+n）/x…② 代②入①得x^2+2y^2-（2-n）y-n=0,这就是直线l与PQ的交点R的轨迹方程。 注意:如果题目问的是轨迹,则需化为标准式,回答是椭圆 .否则不化,以免化错。其实本题轨迹是椭圆系。
    2006-10-19 11:04:19
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