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初中几何设P是三角形ABC平面上任一点,问P在何处时,才使PA^?

2008-10-12 09:36:13可***
初中几何 设P是三角形ABC平面上任一点, 问P在何处时, 才使PA^2+PB^2+PC^2为最小. 初中几何设P是三角形ABC平面上任一点,问P在何处时,才使PA^2+PB^2+PC^2为最小.：初中几何 设P是三角形ABC平面上任一点, 问P在何处时, ?

最佳回答

  •   初中几何 设P是三角形ABC平面上任一点, 问P在何处时, 才使PA^2+PB^2+PC^2为最小。 解 在三角形ABC[或退化成一直线]中,设G是平面上有A,B,C三点的重心，则有 AG^2+BG^2+CG^2+3PG^2=PA^2+PB^2+PC^2 (1) 当P与G重合时,PA^2+PB^2+PC^2有最小。
      此时 PA^2+PB^2+PC^2=(BC^2+CA^2+AB^2)/3。 试证:到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心。 上述重心性质可改述为: 命题 在ΔABC中，G是重心,M是平面上任一点。求证; MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2 证明 ΔABC的三条中线AD,BE,CF交于G，不妨设M在ΔBGC内。
       对于ΔAMD和G，由斯特瓦尔定理得; MA^2*DG+MD^2*AG-MG^@*AD=AD*DG*AG 因为 DG=AD/3,GA=2AD/3，代入整理得: 3*MG^2=MA^2+2*MD^2-2*AD^2/3 (1) 容易算出，在ΔMBC和ΔGBC中有 MD^2=(MB^2+MC^2)/2-BC^2/4 GD^2=(GB^2+GC^2)/2-BC^2/4 将上述两式代入(1) 式得: 3*MG^2=MA^2+MB^2+MC^2-(GB^2+GC^2)+2GD^2-2*AD^2/3 = MA^2+MB^2+MC^2-( GA^2+GB^2+GC^2) 所以 MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2 从等式显然可看出, 当M异于G时，有 MA^2+MB^2+MC^2>GA^2+GB^2+GC^2 所以到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心。
       。
    2008-10-12 16:59:21
  •   P点是三角形ABC的重心，即是三边中线的交点，重心到三边距离的平方和最小～ 证明： 设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y），则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 =3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值 最小值为 x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 P点是三角形ABC的重心，即是三边中线的交点，重心到三边距离的平方和最小～ 证明： 设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y），则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 =3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值 最小值为 x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 证毕 参考资料：baiodu 参考资料：baiodu。
      
    2008-10-12 10:44:16
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