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高中数学题求助,快~已知等轴双曲线x²-y²

2008-12-25 20:10:46z***
已知等轴双曲线x²-y²=a²及其上一点P,求证: (1)P到它两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心距离的平方. (2)过P作两渐近线的垂线,构成的矩形面积为定值.高中数学题求助,快~已知等轴双曲线x²-y²=a²及其上一点P,求证:(1)P到它两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心距离的平方.?

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  •   已知等轴双曲线x²-y²=a²及其上一点P,求证: (1)P到它两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心距离的平方。 等轴双曲线x^2-y^2=a^2中，a=b=a c=√2a 所以，F1(-√2a,0)、F2(√2a,0) 已知点P在双曲线上，令P(m,n) 因为：PF1*PF2=[(PF1)^2+(PF2)^2-(PF1-PF2)^2]/2 则：PF1*PF2=[(m+√2a)^2+n^2+(m-√2a)^2+n^2-(2a)^2]/2 =[m^2+2√2ma+2a^2+n^2+m^2-2√2ma+2a^2+n^2-4a^2]/2 =[2(m^2+n^2)]/2 =m^2+n^2 而，m^2+n^2正好就是P到原点（双曲线中心）的距离的平方 所以，获证！ (2)过P作两渐近线的垂线,构成的矩形面积为定值。
       等轴双曲线x^2-y^2=a^2的渐近线为x+y=0和x-y=0 设点P(m,n)，则点P到渐近线的距离分别为： d1=|m+n|/√2 d2=|m-n|/√2 所以，矩形的面积S=d1*d2=[|m+n|*|m-n|]/2 =|m^2-n^2|/2 而点P是在双曲线上，所以：m^2-n^2=a^2 所以，S=a^2/2，为一定值。
      
    2008-12-25 20:46:00
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