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abc>=0求证a立方+b立方+c立方大于等于1a,b,c

2010-12-18 23:04:37圆***
a,b,c>=0求证a立方 +b立方+c立方大于等于1/3[a+b+c]立方abc=0求证a立方+b立方+c立方大于等于1a,b,c=0求证a立方+b立方+c立方大于等于1/3[a+b+c]立方：9（a^3+b^3+c^?

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  • 9（a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)^3 =8a^3+9(b^3+c^3)-3a^2*(b+c)-3a(b+c)^2-(b+c)^3 =8(a^3+b^3+c^3)-3(a^2*b+ab^2+a^2*c+ac^2+b^2*c+bc^2+2abc) =3[(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2] +(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>=0, ∴a^3+b^3+c^3>=(1/9)(a+b+c)^3. 原题有误。
    2010-12-19 22:06:04
  • 证明： a、b、c≥0, 故依Cauchy不等式得 (a+b+c)(a^3+b^3+c^3) ≥(a^2+b^2+c^2)^2 ≥[1/3*(a+b+c)^2]^2 →(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)≥1/9*(a+b+c)^4 两边除以a+b+c,得 a^3+b^3+c^3≥1/9*(a+b+c)^3. 故命题得证.
    2010-12-20 22:36:38
  • 设0≤a≤b≤c 得0≤1/3(a+b+c)≤c 所以[1/3(a+b+c)]^3≤c^3 所以a^3+b^3+c^3≥[(1/3)(a+b+c)]^3.
    2010-12-20 12:25:58
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