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用偏导数求极值问题将周长为2p的三角形绕其一边旋转形成一个旋转体

2013-03-31 23:02:47B***
将周长为2p的三角形绕其一边旋转形成一个旋转体，问三角形的边长各为多少时，所得旋转体的体积最大。 我想请教大神们这道题巧妙的可以减少一些计算步骤的方法，我列的式子里又是根号又是分式的特别难计算。 用偏导数求极值问题将周长为2p的三角形绕其一边旋转形成一个旋转体，问三角形的边长各为多少时，所得旋转体的体积最大。我想请教大神们这道题巧妙的可以减少一些计算步骤?

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  •   当绕边b旋转时， V=(π/3)bc^2(sinA)^2=(π/3)bc^2[1-(cosA)^2] =(π/3)bc^2[1-(b^2+c^2-a^2)^2/(4b^2c^2)] =(π/3)[4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2]/(4b) =(π/3)×2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)/(4b) =(4π/3)p(p-a)(p-b)(p-c)/b。
       求满足条件a+b+c=2p下的极值，建立拉格朗日函数 F=(4π/3)p(p-a)(p-b)(p-c)/b+λ(a+b+c-2p) F'=(-4π/3)p(p-b)(p-c)/b+λ=0, ① F'=(-4π/3)p(p-a)(p-b)/b+λ=0, ② F'=(4π/3)p(p-a)(p-c)(-p/b^2)+λ=0 ③ F'=a+b+c-2p=0 ④ 比较①, ②，得 c=a，且 λ=(4π/3)p(p-a)(p-b)/b， 将c=a代入④，得 b=2(p-a)， 将λ，b代入③，整理得, 4a^2-7ap+3p^2=0, 解得 a=3p/4, 或 a=p(组不成三角形，舍去)， 则 a=c=3p/4, b=p/2，V=(4π/3)p(p-a)(p-b)(p-c)/b=πp^3/12。
       结论：当作为旋转轴的边长为p/2，另两边长为3p/4时，所得旋转体的体积最大, 最大体积 V=πp^3/12。 举例验证：设△ABC周长为24，即 p=12。 (1) 按本方法 a=c=9, b=6, V=(4π/3)p(p-a)(p-b)(p-c)/b=144π。
       (2) 等边三角形 a=b=c=8, V=(4π/3)p(p-a)(p-b)(p-c)/b=128π, 此时旋转体的体积比第一种情况小。 (3) 直角三角形 a=8,b=6,c=10, V=(π/3)×6^2×8=96π, V=(π/3)×8^2×6=128π, 此时旋转体的体积均比第一种情况小。
      
    2013-04-01 00:03:55
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    2013-04-01 23:53:52
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