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高二数学双曲线问题！急！谢谢！！！设A、B是双曲线x^2-(y^

2006-12-30 10:19:14若***
设A、B是双曲线x^2-(y^2/2)=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点 （1）求直线AB的方程 （2）若线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？高二数学双曲线问题！急！谢谢！！！设A、B是双曲线x^2-(y^2/2)=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点（1）求直线AB的方程（2）若线段AB的垂直?

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  •   1)过点N的直线方程设为y-2=k(x-1)--->y=kx-(k-2)。代入双曲线方程得到2x^2-[kx-(k-2)]^2=2 --->(2-k^2)x^2+2k(k-2)x+(k-2)^2-2=0。。。。。。(*) 据维达定理有 x1+x2=-2k(k-2)/(2-k^2) --->(x1+x2)/2=k(k-2)/(k^2-2) 这就是线段AB的中点N的横坐标，所以 k(k-2)/(k^2-2)=1 --->k^2-2k=k^2-2--->k=1。
       因此直线AB的方程是x-y+1=0。 2)y-2=-(x-1)--->y=-x+3,代入双曲线方程得到 x^2-6x-7=0 --->x=-1,7,y=4,-4。C(-1,4),D(7,-4) 在k=1时方程(*)成为x^2-2x-1=0 --->x=1+'-2,y=2+'-2。
      A(1+2,2+2),B(1-2,2-2) 因为CD垂直平分AB， 又k(AC)=[(2+2)-4]/[(1+2)-(-1)]=(-2+2)/(2+2), k(AD)=([(2+2)-(-4)]/[(1+2)-7]=(6+2)/(-6+2) --->k(AC)*k(BC)=-1 所以AC垂直于BC,因而四边形ACBD是正方形(对角线互相垂直，有一个角是直角，二邻边相等），所以A、B、C、D四点共圆。
      
    2006-12-30 11:53:37
  •   设A、B是双曲线x^-y^/2=1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点 （1）求直线AB的方程 （2）若线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？ （1） 设直线AB的斜率为 k，则: k=(yA-yB)/(xA-xB) N(1,2)是AB的中点--->xA+xB=2, yA+yB=4 又：xA^-yA^/2=1，xB^-yB^/2=1 两式相减：(xA^-xB^)-(yA^-yB^)/2=0 --->2(xA+xB)(xA-xB)=(yA-yB)(yA+yB)--->xA-xB=yA-yB --->k=(yA-yB)/(xA-xB)=1--->AB的方程为: y-2=x-1，即：x-y+1=0 （2）AB的垂直平分线CD方程为: y-2=-(x-1)，即：y=3-x 联立AB与双曲线方程--->x^-2x-3=0--->A(3,4),B(-1,0) 联立CD与双曲线方程--->x^+6x-11=0 　　　　　　　　　--->C(-3-2√5,6+2√5),D(-3+2√5,6-2√5) k(AC)k(AD)=[(2+2√5)/(-6-2√5)][(2-2√5)/(-6+2√5)]=-1 --->AC⊥AD，同理BC⊥BD --->A、B在以CD为直径的圆上，即：A、B、C、D四点共圆 （四边形ACBD是筝形，不是正方形）。
      
    2006-12-30 15:09:04
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