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请教大家2道高中三角函数题1f(x)=sinX+cosX+si

2007-07-06 10:43:31出***
1。f(x)=sinX+cosX+sinXcosX的值域是多少？ 2。函数f(x)=(sinx)^2+2sinxcosx+3(cosx)^2,x∈R。求： （1）函数f(x)的最大值及取到最大值的自变量x的集合 （2）函数f(x)的单调区间请教大家2道高中三角函数题1。f(x)=sinX+cosX+sinXcosX的值域是多少？2。函数f(x)=(sinx)^2+2sinxcosx+3(cosx)?

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  •   设sinx+cosx=t 。。。。。。。。。。。(1) sinx+cosx =(根号2)sin(x+pai/4) ===>t 属于[-根号2,根号2] (1)两边平方,有1+2sinxcosx=t^ ====>sinxcosx=(t^2-1)/2 f(x)=sinx+cosx+sinxcosx=t + t^/2 -1/2 =(1/2)(t^+2t) -1/2 =(1/2)(t+1)^-1 ===>f(x)的值域是 [-1 ,1/2+根号2] 2)f(x)=(sinx)^2+2sinxcosx+3(cosx)^2 =1+sin2x+2(cosx)^2 =1+sin2x +1+cos2x =2+(根号2)sin(2x+pai/4) 最大值 2+(根号2) 2x=2kpai+pai/4 x =kpai +pai/8 k是整数 函数f(x)的单调增区间: 当 2x+pai/4 在[2kpai -pai/2 ,2kpai+pai/2] 就是x 在[kpai -3pai/8 ,kpai+pai/8]时。
       k是整数。
    2007-07-06 11:12:23
  • 1.令t=sinX+cosX则f(x)=t+(t^2-1)/2,是t的2次函数，注意t的范围是-根号2到+根号2 2.
    2007-07-06 11:42:30
  •   1。y=f(x)=sinX+cosX+sinXcosX 设sinX+cosX=t=√2sin(X+π/4), ∴ -√2≤t≤√2,则sinXcosX=(t^-1)/2, y=t+(t^-1)/2=(1/2)(t-1)^-1, Y(min)=f(1)=-1,Y(max)=f(√2)=√2+(1/2), ∴ f(x)=sinX+cosX+sinXcosX的值域是[-1,√2+(1/2)] 2。
       y=f(x)=(sinx)^2+2sinxcosx+3(cosx)^2=1+sin2X+2(cosX)^=sin2X+cos2X+2=√2sin(2X+π/4)+2≤2+√2,当2X+π/4=2kπ+π/2,即X=kπ+π/8时"="成立。
       ∴ (1) 函数f(x)的最大值=2+√2,最大值时的自变量x的集合={X|X=kπ+π/8(k∈Z,下同)} (2) 2kπ-π/2≤2X+π/4≤2kπ+π/2,kπ-3π/8≤X≤kπ+π/8时,函数递增; 2kπ+π/2≤2X+π/4≤2kπ+3π/2,kπ+π/8≤X≤kπ+5π/8时,函数递减。
      ∴ 增区间[kπ-3π/8,kπ+π/8]; 减区间[kπ+π/8,kπ+5π/8]。
    2007-07-06 11:25:14
  •   1、令sinX+cosX=U=（√2）sin（X+π/4） 则（sinX+cosX）＾=U＾=（sinX）＾+（cosX）＾+2sinXcosX sinXcosX=（U＾-1）/2 -√2≤ U≤√2 f(x)=sinX+cosX+sinXcosX=U+（U＾-1）/2 =（1/2）[u＾+2u-1] g（u）=u＾+2u-1 -√2≤ U≤√2 [g（x）]max=g（√2）=1+2√2 [g（x）]min=g（-√2）=1-2√2 ∴f（x）∈[1/2-√2，1/2+√2] (2)f(x)=(sinx)^2+2sinxcosx+3(cosx)^2 =1++sin2x+2(cosx)^2 =2+sin2x+cos2x=2+（√2）sin（2x+π/4） [f（x）]max=2+√2 此时sin（2x+π/4）=1 2x+π/4=π/2+2kπ x=kπ+π/8 k∈N x∈（kπ-3π/8， kπ+π/8 ） f（x）单调递增 x∈（kπ+π/8 ， kπ+5π/8） f（x）单调递减 k∈N 。
      
    2007-07-06 11:04:00
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