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凸包问题平面上任意给定5点，其中任三点不共线，则在以它们为顶点的?

2018-04-18 03:28:08谌***
凸包问题 平面上任意给定5点，其中任三点不共线，则在以它们为顶点的三角形中, 至多有7个锐角三角形. 凸包问题平面上任意给定5点，其中任三点不共线，则在以它们为顶点的三角形中,至多有7个锐角三角形.：先证明一个简单的引理：设P为三角形ABC内一点（不在边界上） ?

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  •   先证明一个简单的引理：设P为三角形ABC内一点（不在边界上） 则三个角APB BPC CPA 中至少有两个为非锐角。 引理证明: 用反证法，假设有两个或以上为锐角，不妨设APB BPC为锐角 则其二者之和小于180，而三角之和为360 故角CPA大于180度 矛盾！假设不成立，引理证毕。
       回到原题： 5点钟任三点不共线 构成10个三角形，只需证明，其中至少3个不是锐角三角形即可，考察5点凸包。 1，若其凸包为五边形，则五边形中至少三个角大于90度（否则另两角之和大于等于450度，不可能），以这三角定点为顶点的三个三角形即为非锐角三角形，成立 2，若其凸包为四边形，知四边形中至少一角不小于90度（否则四角之和小于360度），5点为ABCDE 其凸包为四边形ABCD 下面考察点E 点E必在四边形ABCD中，又因为任三点不共线，所以E比在ABCD四点构成的四个三角形的某两个中，不妨设其在三角形ABC中，则对三角形ABC及点E用引理，可得两个钝角，即得两个钝角三角形，再加上四边形ABCD中的一个，成立。
       3，若其凸包为三角形，不妨设为ABC ，D E 在三角形ABC中， 对D，E和三角形ABC 分别用引理，可得至少4个钝角三角形，成立。 综1，2，3，知。5点中任三点不共线，以这5点为顶点的三角形中至少3个非锐角，即至多7个为锐角三角形。
      
    2018-04-18 04:16:22
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