高1数学`设等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q.1.若S
2005-08-01 10:32:15︵***
设等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q.
1.若S5.S15.S10成等差数列.求证2S5.S10.S20-S10成等比数列
2.若2S5.S10.S20-S10成等比数列.试问S5.S15.S10一定成等差数列吗?
高1数学`设等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q.1.若S5.S15.S10成等差数列.求证2S5.S10.S20-S10成等比数列2.若2S5.S10.?
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S10。
S20-S10成等比数列 第2小题,解: S5=a1*(1-q^5)/(1-q) S15=a1*(1-q^15)/(1-q) S10=a1*(1-q^10)/(1-q) S20=a1*(1-q^20)/(1-q) ∵2S5*(S20-S10)=(S10)^2 即2(q^10-q^20)(1-q^5)=(1-q^10)^2 化为2q^10(1-q^10)(1-q^5)=(1-q^5)^2(1+q^5)^2 化为q^10=(1+q^5) 解之q^5=-1/2 此时: S10=[a1*(3/4)]/(1-q) S5=[a1*(3/2)]/(1-q) S15=[a1*(9/8)]/(1-q) 很明显,上面的s10,s5,s15都有公因式a1/(1-q) ∵2×(9/8)=9/4,3/4+3/2=9/4 ∴2s5=s10+s5 ∴S5,S15,S10一定成等差数列 。
2005-08-01 10:36:29
S20-S10成等比数列 S10^2=2S5*(S20-S10) S10^2=a1^2*(1-q^10)^2/[(1-q)^2] 2S5*(S20-S10)=2*a1(1-q^5)/(1-q)*[a1(1-q^20)/(1-q)-aq(1q^10)/(1-q)] =2*a1^2(1-q^5)(q^10-q^20)/[(1-q)^2] 则(1-q^10)^2=2(1-q^5)*(q^10-q^20) 整理后得(q^5-1)^2*(q^5+1)*(2q^10-q^5-1)=0 ② 由①可推出② 反之亦然 所以一定可以推出。
2005-08-01 11:06:40
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