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已知空间三个平面α,β,γ两两垂直,直线l与平面α,β所成的角都?

2018-12-30 01:42:57A***
已知空间三个平面α,β,γ两两垂直,直线l与平面α,β所成的角都是30度,求直线l与平面γ所成的角的余弦值
有图形则再加20分已知空间三个平面α,β,γ两两垂直,直线l与平面α,β所成的角都是30度,求直线...已知空间三个平面α,β,γ两两垂直,直线l与平面α,β所成的角都是30度,?

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  •   贴不上图。
      不过我想楼主根据我的思路自己作图应该是相当简单的(*^__^*)
    这道题可以放在一个长方体中考虑：
    设长方体A11B1CD1-ABCD,则面A1B1C1D1,面A1B1BA,面B1C1CB必然相互垂直,它们分别对应题目中的α,β,γ平面
    连接体对角线D1B,将它堪称是直线l,设D1B与面A1B1BA和面A1B1C1D1所成的角都是30°,则题目要求的角即为DB1与面B1C1CB所成的角
    可以通过长方体的特殊性质,轻易找到这三个角在长方体中的位置：
    D1B与A1BBA所成的角为∠D1BA1=30°
    D1B与A1B1C1D1所成的角为∠B1D1B=30°
    D1B与B1C1CB所成的角为∠D1BC1
    在Rt△D1A1B中,sin∠D1BA1=A1D1/D1B=1/2
    A1D1=D1B/2
    在Rt△D1B1B中,sin∠B1D1B=B1B/D1B=1/2
    B1B=D1B/2
    所以有A1D1=B1B=D1B/2,而长方体中必有A1D1=B1C1,所以B1B=B1C1=D1B/2,故B1C1CB为正方形,其面对角线C1B=√2B1C1=√2BB1=√2D1B/2
    所以,在Rt△D1C1B中,cos∠D1BC1=C1B/D1B=√2/2
    ∠D1BC1=45°
    即,原题所要求的直线l与面γ的角为45°,余弦值为√2/2。
    2018-12-30 01:47:39
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