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证明题试证如果一个三位数能被37整除,那么就有另一个由同样数字组

2012-07-16 22:03:33存***
试证如果一个三位数能被37整除,那么就有另一个由同样数字组成的3位数能被37整除。证明题试证如果一个三位数能被37整除,那么就有另一个由同样数字组成的3位数能被37整除。：请点一下图,以便看得清楚些. ?

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  • 请点一下图,以便看得清楚些.
    2012-07-18 00:03:03
  • 设这个能被37整除的三位数百位数为a、十位数为b、个位数为c，记为【abc】，即 【abc】=100a+10b+c，a≠0。 据题意 100a+10b+c=37n， 则 c=37n-100a-10b=37(n-3a)+11a-10b=37k+11a-10b， 那么 100c=3700k+1100a-1000b=37(100k+30a-27b)-10a-b=37m-10a-b， 即 100c+10a+b=37m。 【这就得到了结论】：若三位数【abc】是37的倍数，只要 c≠0，那么把最后一位a移动到最前面，得到三位数【cab】也一定是37的倍数； 同样的道理，若b≠0，则三位数【bca】也一定是37的倍数。 举例：因为185÷37=5，所以185是37的倍数，那么518，851也一定是37的倍数。验证518÷37=14,851÷37=23。
    2012-07-17 21:03:01
  •   设三位数abc能被37整除(a、b、c为0-9的中的数字，且a≠0)，即100a+10b+c=37n，(n为自然数)，则由同样数字组成的三位数有：acb、bac、bca、cab、cba,它们与abc的差分别为： abc-acb=9b-9c=9(b-c) abc-bac=90(a-b) abc-bca=99a-90b-9c=999a-9(100a+10b+c)=37*27a-37*9n=37(27a-9n) abc-cab=90a+9b-99c abc-cba=99(a-c) 由上述各式中可看出abc-bca=37(27a-9n)，故: bca=abc-37(27a-9n)=37n-37(27a-9n)=37(10n-27a) 因n、a为整数，则10n-27a为整数，故bca能被37整除，当b≠0时，bca即为所找的三位数。
       当b=0时，bca不是三位数，但能被37整除，按上述同样推理方法，可由bca推得cab也能被37整除，而显然b、c不可同时为0，故cab即为所找的三位数。 故必有另一个同样数字组成的三位数也能被37整除。
    2012-07-16 23:58:11
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