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不等式的问题已知a>b>c，比较a^2*b+b^2*

2005-09-03 11:02:45爱***
已知a>b>c，比较a^2*b+b^2*c+c^2*a与a*b^2+b*c^2+c*a^2的大小。不等式的问题已知abc，比较a^2*b+b^2*c+c^2*a与a*b^2+b*c^2+c*a^2的大小。：直接都除于abc做差得到结果是: =?

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  • 直接都除于abc做差得到结果是: = a[1/c -1/b] +b[1/c -1/a] +c[1/b- 1/a] 把括号的都通分,发现都大于0 那么直接得到: 整个式子>0 那就是说第一个式子大于第二个式子
    2005-09-03 12:47:20
  • 方法1:用因式分解: (a^2b+b^2c+c^2a)-(ab^2+bc^2+ca^2)=ab(a-b)+bc(b-c)+ac(c-a+b-b)= =a(b-c)(a-b)+c(b-a)(b-c)=(a-c)(b-c)(a-b)>0 (a^2b+b^2c+c^2a)>(ab^2+bc^2+ca^2) 方法2:用构造函数法: 令f(a)=(a^2b+b^2c+c^2a)-(ab^2+bc^2+ca^2) 即f(a)=(b-c)a^2+(c^2-b^2)a+bc(b-c) 因为b>c,所以f(a)是开口向上的二次函数 又因为对称轴为a=(c^2-b^2)/2(c-b)=(c+b)/2,而(b+c)/2-b=(c-b)/20,即a^2b+b^c+c^a>ab^2+bc^2+ca^2
    2005-09-03 11:17:04
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