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将函数展开成幂级数1P107将函数展开成幂级数1

2007-06-01 23:29:061***
将函数展开成幂级数1将函数展开成幂级数1P107将函数展开成幂级数1：f(x)＝ln(a＋x)＝lna＋ln(1＋x/a)。 ln(1＋x/a)＝x/a－(x/a)^2/2＋?

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  • f(x)＝ln(a＋x)＝lna＋ln(1＋x/a)。 ln(1＋x/a)＝x/a－(x/a)^2/2＋(x/a)^3/3＋...＋(－1)^(n－1)×(x/a)^n/n＋... |x/a|＜1，即|x|＜a。 所以，f(x)＝lna＋x/a－x^2/2a^2＋x^3/3a^3＋...＋(－1)^(n－1)×x^n/na^n＋... 收敛区间是(－a，a)。 －－－－－－－－ 使用ln(1－x)的展开式
    2007-06-03 23:49:41
  • f(x)=ln(a+x),f(0)=lna; f'(x)=1/(a+x),f'(0)=1/a; f''(x)=-1/(a+x)^2,f''(0)=-1/a^2 …………………………………… f_n_(x)=(n-1)!(-1)^(n-1)/(a+x)^n,f_n_(0)=(n-1)!(-1)^(n-1)/a^n. 幂级数的通项 Tn=x^n*f_n_(0)/n!=(-1)^(n-1)/(na^n) 所以ln(a+x) =lna+x/a-x^2/(2a^2)+x^3/(3^3)-……+x^n*(-1)^(n-1)/(na^n) +…… lim|a(n+1)/an|=lim{1/[n+)a]}=1/a. 所以收敛半径R=1/(1/a)=a.
    2007-06-02 08:14:05
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