百科知识

教育/科学

什么是勾股定理？怎么证明勾股定理呢？

2018-04-16 03:50:53何***
什么是勾股定理？怎么证明勾股定理呢？什么是勾股定理？怎么证明勾股定理呢？：在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。即勾的平方加股的平方等于弦的平方 ?

最佳回答

  •   在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。即勾的平方加股的平方等于弦的平方 证法1 　　作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c。 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。
      过点C作AC的延长线交DF于点P。 　　∵ D、E、F在一条直线上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， 　　∴ ∠EGF = ∠BED， 　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， 　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， 　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 　　又∵ AB = BE = EG = GA = c， 　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形。
       　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° 　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， 　　∴ ∠ABC = ∠EBD。 　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 　　即 ∠CBD= 90° 　　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， 　　BC = BD = a。
       　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形。 　　设多边形GHCBE的面积为S，则 　　A2+B2=C2 证法2 　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c。
       再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上。 　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P。 　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 　　F作FN⊥PQ，垂足为N。 　　∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， 　　∴ ∠MPC = 90°， 　　∵ BM⊥PQ， 　　∴ ∠BMP = 90°， 　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。
       　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°， 　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， 　　∴ ∠QBM = ∠ABC， 　　又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， 　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA。
       　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF。即A2+B2=C2 证法3 　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c。 再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形。 　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， 　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， 　　∴FI=a， 　　∴G,I,J在同一直线上， 　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c， 　　∠CJB = ∠CFD = 90°， 　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 　　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， 　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE 　　∴∠ABG = ∠BCJ, 　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°， 　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°， 　　∵∠ABC= 90°， 　　∴G,B,I,J在同一直线上， 　　A2+B2=C2。
       证法4 　　作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 　　BF、CD。 过C作CL⊥DE， 　　交AB于点M，交DE于点L。 　　∵ AF = AC，AB = AD， 　　∠FAB = ∠GAD， 　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， 　　∵ ΔFAB的面积等于， 　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM 　　的面积的一半， 　　∴ 矩形ADLM的面积 =。
       　　同理可证，矩形MLEB的面积 =。 　　∵ 正方形ADEB的面积 　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 　　∴ 即A2+B2=C2。
    2018-04-16 07:15:09
  • 勾股定理：直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方 证明方法有很多种，简要的写一个： 如图，四个相同的直角三角形摆成如图图案 每个小直角三角形的两个直角边分别为a，b（a＜b），斜边为c 那么，大正方形的面积=c^2 小正方形的面积=(b-a)^2 每个小正方形的面积=(1/2)*ab 显然，大正方形的面积等于小正方形面积+4个直角三角形面积 ===> c^2=(b-a)^2+4*[(1/2)*ab] ===> c^2=(b-a)^2+2ab ===> c^2=b^2-2ab+a^2+2ab ===> c^2=a^2+b^2 ——这就是勾股定理。
    2018-04-16 07:15:09
    • 很赞哦！ (197)

    相关文章