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不定方程组求方程组x+y=ztx+t=xy的正整数解.

2007-09-28 09:12:31o***
求方程组 x+y=zt x+t=xy 的正整数解.不定方程组求方程组x+y=ztx+t=xy的正整数解.：1. x,y,z,t为正整数 ==> x-1,y-1,z-1,t-1为非负整数 2. (x?

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  •   1。 x,y,z,t为正整数 ==> x-1,y-1,z-1,t-1为非负整数 2。
       (x-1)(y-1)+(t-1)(z-1)=2 ==> (x-1)(y-1)=2,(t-1)(z-1)=0 (1) (x-1)(y-1)=(t-1)(z-1)=1 (2) (x-1)(y-1)=0,(t-1)(z-1)=2 (3) ==> (1)==> (x,y,z,t)=(3,2,z,1),(3,2,1,t),(2,3,z,1),(2,3,1,t), 再将其代入原方程得： (x,y,z,t)=(3,2,５,1),(3,2,1,５),(2,3,５,1),(2,3,1,５), （２）＝＝＞ (x,y,z,t)=(2,2,2,2) （３）和（１）同理得 (x,y,z,t)=(５，１，3,2),(１，５，3,2),(５，１，2,3,), (１，５，2,3)． 共９组解．。
    2007-09-28 10:56:40
  • 我觉得，这种题目还是用计算机搜索一下的好，我找到3组整数解，结果如下： x=3,y=3,z=1,t=6 x=2,y=2,z=2,t=2 x=1,y=2,z=3,t=1
    2007-09-28 09:44:14
  •   由于z与t对称。不妨设z≥t。如果t≥3,则x+y≥3z。 而xy-(x+y)+1=(x-1)(y-1)≥0,故xy≥3z-1。从而z+t≥3z-1。 据此,(t+1)/2≥z≥t,即2t≤t+1,故t≤1。与t≥3矛盾。因此t≤2。 类似地,若设y≤x,则有y≤2。
      则分类讨论如下： (1)t=1,y=1。原方程组为 x+1=z z+1=x 相加得矛盾； (2)t=1,y=2,由方程组 x+2=z z+1=2x 解得x=3,y=5 (3)t=2,y=2,由 x+1=2z z+2=x 解得x=5,y=3 (4)t=4,y=2。
      由 x+2=2z z+2=2x 解得x=2,y=2 故原方程组的解为 x=3,y=2,z=5,t=1 x=5,y=1,z=3,t=2 x=2,y=2,z=2,t=2 此外,由于z≥t和x≥y的假设破坏了对称性,故还有另外的六组解 x=3,y=2,z=1,t=5 x=2,y=3,z=5,t=1 x=2,y=3,z=1,t=5 x=1,y=5,z=3,t=2 x=1,y=5,z=2,t=3 x=5,y=1,z=2,t=3 因此有九解。
       。
    2007-09-28 09:23:42
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