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面积问题设一凸四边形的面积为S,由对角线把它分成四个三角形，四个

2008-06-24 09:18:10H***
设一凸四边形的面积为S, 由对角线把它分成四个三角形，四个三角形面积分别为X,Y,Z,W. 求证: *Y*Z*W*S^4=[X+Y)*(Y+Z)*(Z+W)*(W+X)]^2 面积问题设一凸四边形的面积为S,由对角线把它分成四个三角形，四个三角形面积分别为X,Y,Z,W.求证:*Y*Z*W*S^4=[X+Y)*(Y+Z)*(Z+W)*?

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  • 证明 设凸四边形ABCD，对角线AC与BD交于E，令△ABE，△BCE，△CDE，△DAE的面积依次为X，Y，Z，W。则有 X/(X+Y)=AE/AC=W/(Z+W), X/(X+Y)=(X+W)/(X+Y+Z+W) X/(X+Y)=(X+W)/S (1) 同理可得: Y/(Y+Z)=(Y+X)/S; (2) Z/(Z+W)=(Z+Y)/S; (3) W/(W+X)=(W+Z)/S. (4) (1)*(2)*(3)*(4)得: X*Y*Z*W/[(X+Y)*(Y+Z)*(Z+W)*(W+X)]= (X+Y)*(Y+Z)*(Z+W)*(W+X)S^4 X*Y*Z*W*S^4=[(X+Y)*(Y+Z)*(Z+W)*(W+X)]^2. 证毕。
    2008-06-25 20:22:10
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