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高中数学竞赛题-椭圆椭圆C方程:x^2/4+y^2/3=1,试确

2009-05-16 07:32:00苏***
椭圆C方程:x^2/4+y^2/3=1,试确定m的取值范围,使得对于直线l:y=4x+m,椭圆上总有不同的两点关于直线l对称 高中数学竞赛题—椭圆椭圆C方程:x^2/4+y^2/3=1,试确定m的取值范围,使得对于直线l:y=4x+m,椭圆上总有不同的两点关于直线l对称：椭圆C方程:x?

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  •   椭圆C方程:x^2/4+y^2/3=1,试确定m的取值范围,使得对于直线l:y=4x+m,椭圆上总有不同的两点关于直线l对称 解 设P,Q在椭圆C:x^2/4+y^2/3=1上,且关于直线l:y=4x+m对称。 设直线l'通过P,Q,则l⊥l'。
       又l的斜率为4,故l'的斜率为-1/4。 设l'的方程为:y=-x/4+n。则 y=-x/4+n x^2/4+y^2/3=1 得:13x^2/16-nx/2+n^2-3=0 (1) ∴x1+x2=8n/13。
       则可求得线段PQ的中点O坐标: x'=4n/13,y'=12n/13 又O点在直线l上,所以 y'=4x'+m m=y'-4x'=12n/13-16n/13=-4n/13。 又(1)式有两个不同根,所以 △=(n/2)^2-4(13/16)*(n^2-3) =39/4-3n^2>0 ∴｜n｜＜√13/2。
       从而知 ｜m｜＜(2√13)/13。 故m的取值范围(-2/√13,2/√13)。
    2009-05-16 17:14:55
  • 写个结果，见附件！！
    2009-05-16 17:19:14
  • 用点差法做!不妨设A(x1,y1)B(x2,y2),AB中点M(x0,y0)(x1)^2/4+(y1)^2/3=1...1(x2)^2/4+(y2)^2/3=1...21-2得(1/4)(x1+x2)(x1-x2)+(1/3)(y1+y2)(y1-y2)=0kAB=(x1-x2)/(y1-y2)=(1/4x0)/(-1/3y0)=-1/4(中垂线)推出y0=3x0推出M(x0,3x0)又M在l上代入l方程M(-m,-3m)最后将M代入椭圆方程,令其小于1求的m的范围
    2009-05-16 08:13:08
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