数学问题正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是侧棱B1B的中点，（
2009-08-09 08:40:371***
正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是侧棱B1B的中点，
（1）求证：平面ADC1⊥平面ACC1A1
（2）若平面ADC1与平面ABC所成的角为θ，求sinθ的值。
数学问题正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是侧棱B1B的中点，（1）求证：平面ADC1⊥平面ACC1A1（2）若平面ADC1与平面ABC所成的角为θ，求sinθ?
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(1)取AC的中点P和A1C1的中点Q,作辅助平面BB1QP,与平面ADC1的交线为DE.
在平面BB1QP中，可知PE⊥DE.
∵CP⊥平面BB1QP(∵CP⊥PE同时CP⊥PB),∴CP⊥DE
∴DE⊥平面ACC1A1 (因为它就是PE和CP决定的平面）
∴平面ADC1⊥平面ACC1A1 （∵平面ADC1过DE,而DE⊥平面ACC1A1 )
(2)取中点F,G作辅助平面DGF,则平面DGF//平面ABC
平面DGF与平面ADC1的交线仍为DE.
由于FE⊥DE,AE⊥DE 故∠AEF即为所求之角。
又AF⊥FE 故AFE是直角△，用边长可求角度。
正三棱柱是否就是棱高与正三角形边长相等呢？
如是，则所求之角显然为45度，sinθ=(√2)/2
2009-08-09 10:48:39
(1)取CC1、AA1的中点E、F，显然AC1、CA1、EF有公共中点G.
由于 DE=DF，所以DG⊥EF；由于 DA1=DC，所以DG⊥A1C，
这就说明了DG⊥平面ACC1A1，所以平面ADC1⊥平面ACC1A1 。
(2)设底面正三角形边长为a，侧棱长为h，则AC1=√(a^2+h^2)
平面ADC1与平面ABC所成的角就是平面ADC1与平面DEF所成的角.
而平面ADC1与平面DEF的交线是DG，
上面已经得到了EG⊥DG的结论，
另一方面由于 DA=DC1，所以DG⊥AC1，GC1⊥DG，所以θ=∠EGC1=∠CAC1,
所以 sinθ=h/√(a^2+h^2).
2009-08-19 19:07:54
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