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勾股定理-什么叫勾股定理？解释一下怎么推导的

2010-11-04 19:08:32寸***
什么叫勾股定理？解释一下怎么推导的。【勾股定理,勾股弦】什么叫勾股定理？解释一下怎么推导的。：最佳答案在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理?

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  •   最佳答案在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
      在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
       定理： 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²＋b²＝c² 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形的三条边a，b，c满足a²＋b²＝c² ，那么这个三角形是直角三角形。
      （称勾股定理的逆定理） 【证法1】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。 把这四个直角三角形拼成如图所示形状。 ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB。
       ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2。 ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º。
       ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 。 ∴ ∴ 。 【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。
       从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等。 即 ， 整理得 。 【证法3】（1876年美国总统Garfield证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上。
       ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC。 ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º。 ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º。
      ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于 。 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD‖BC。∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 【证法4】（欧几里得证明） 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD。
       过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L。 ∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面积等于 ，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 = 。
      同理可证，矩形MLEB的面积 = 。 ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ ，即 。 【证法5】（利用相似三角形性质证明） 如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D。
       在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB。 ∴AD∶AC = AC ∶AB，即 。 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 。 ∴ ，即 【证法6】（邹元治证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。
       把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上。 ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF。 ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º。
      ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º。 ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形。 它的面积等于c2。 ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA。 ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º。
       又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º。 ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 。 ∴ 。 ∴ 。 【证法7】（利用切割线定理证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c。
       如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a。 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线。 由切割线定理，得 = = = ， 即 ，∴ 。 【证法8】（作直角三角形的内切圆证明） 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c。
       作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r。 ∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE， ∴ = = r + r = 2r,即 ， ∴ 。∴ ，即 ， ∵ ，∴ ， 又∵ = = = = ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ 。
       。
    2010-11-04 19:20:30
  • 什么叫勾股定理？解释一下怎么推导的。 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 如图： 设直角三角形的两直角为a，b，斜边为c 那么，每个小直角三角形的面积=(1/2)ab 则，4个相同的小直角三角形的面积之和=4*[(1/2)ab]=2ab 中间的小正方形的边长为(b-a) 那么，小正方形的面积=(b-a)^2 大正方形的边长=三角形的斜边c 所以，大正方形的面积=c^2 所以：(b-a)^2+2ab=c^2 ===> b^2-2ab+a^2+2ab=c^2 ===> a^2+b^2=c^2
    2010-11-04 20:03:20
  • 勾股定理用于直角三角形的计算，公式为BC*2=AB*2乘于AC*2
    2010-11-04 19:22:23
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