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已知a>0,b>0,c>0.求证:ab(a+b?

2010-12-16 19:31:44s***
已知a0,b0,c0.求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=6abc.:证明: ab(a+b)+bc(b+c)?

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  • 证明: ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc =a(b^2+c^2-2bc)+b(c^2+a^2-2ca)+c(a^2+b^2-2ab) =a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2 ≥0 故ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c-a)≥6abc.
    2010-12-16 20:36:58
  • 由a>0,b>0,c>0可知 不等式ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)>=6abc 可转换为(a+b)/2c+(b+c)/2a+(c+a)/2b>=3 即可转化为a/c+b/c+b/a+c/a+c/b+a/b>=3 显然(a/c+c/a)+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)>=3
    2010-12-16 20:29:12
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