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高中数学题椭圆C1与双曲线C2有公共焦点(±c，0)(c>

2012-01-15 14:00:52s***
椭圆C1与双曲线C2有公共焦点(±c，0) (c>0)，C1与C2离心率之差不超过1，且C2有一条渐近线斜率不小于4/3，C1、C2与x轴正半轴分?e相交于A、B，且两曲线在第一象限交点为D，问：△ABC的面积是否有最大值?若有，求出最大值并给出C1、C2的方程；若没有，请说明理由。 高中数学题椭圆C1与双曲线C2有公共焦点(±c，0)(c0)，C1与C2离心率之差不超过1，且C2有一条渐近线斜率不小于4/3，C1、C2与x轴正半轴分?

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  •   设C1方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)， 离心率为e1， C2方程为x^2/m^2-y^2/n^2=1(m、n>0)， 离心率为e2。 ∵a=c/e1，b=√(a^2-c^2)， 故C1方程改写为 (1-e1^2)x^2+y^2=[(1-e1^2)/e1^2]c^2……① 同理，C2方程解写为 (1-e1^2)x^2+y^2=[(1-e2^2)/e2^2]c^2……② 设D为(x0，y0)，联立①、②得 y0=(c/e1e2)·√[(1-e1^2)(1-e2^2)]， ∴S△ABD=(1/2)(c/e1-c/e2)y0 =(1/2)[c^2(e2-e1)/e1^2e2^2]√[(1-e1^2)(1-e2^2)] 设f(e1，e2)=[(e2-e1)/e1^2e^2]√[(1-e1^2)(1-e2^2)] ∵e2-e1≤1， ∴e1≥e2-1，e2≤e1+1<2 ∴e1∈[e2-1，1) C2渐近线为x1/m±y1/n=0， 即y=±(n/m)x，∴n/m≥4/3 e2=c/n =√[1+(n/m)^2] ≥√[1+(4/3)^2] =5/3。
       将f(e1，e2)中e2固定，看成关于e1的一次函数易知， 随着e1变大，e2-e1变小，1/e1^2e2^2变小， √[(1-e1^2)(1-e2^2)]变小， f(e1，e2)在e2固定时，在e1∈[e^2-1，1)上为递减的。
       ∴f(e1，e2)≤f(e2-1，e2) ≤[1/(e2-1)^2e2^2]√[(2e2-e2^2)(e2^2-1)] =√[(2-e2)(e2+1)/e2^3(e2-1)^3]。 ∵(2-e2)(e2+1)=-(e2-1/2)^2+(9/4) ∴(2-e2)(e2+1)在[5/3，2)上单调递减， 又1/e2^3(e2-1)^3在[5，2)上单调递减， ∴√[(2-e2)(e2+1)/e2^3(e2-1)^3] ≤√[(2-5/3)(5/3+1)/(5/3)^3(2/3)^3] =9√5/25。
       ∴f(e1，e2)≤9√5/25， ∴S△ABD≤(9√5/50)c^2。 当e2=5/3，e1=2/3时，得 S△ABD最大值为(9√5/50)c^2。 此时， C1为x^2/(9c^2/4)+y^2/(5c^2/4)=1， C2为x^2/(9c^2/25)-y^2/(16c^2/25)=1。
       。
    2012-01-18 00:25:44
  • 老师好象有讲过。。。 可忘了 得找找再回复
    2012-01-17 23:41:28
  • 提示:设椭圆的方程是 x^2/(b^2+c^2)+y^2/b^2=1
    2012-01-15 18:00:34
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