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解析几何已知曲线C的中心在原点，焦点在X轴上，点P（-2，0）与

2007-01-12 09:59:22伊***
已知曲线C的中心在原点，焦点在X轴上，点P（-2，0）与其渐近线的距离为（√10）/5。过P作斜率为1/6的直线交双曲线两支于A，B两点，交Y轴于点M，且│PM│是│PA│和│PB│的等比中项。求双曲线方程。解析几何已知曲线C的中心在原点，焦点在X轴上，点P（-2，0）与其渐近线的距离为（√10）/5。过P作斜率为1/6的直线交双曲线两支于A，B两点，交Y轴于点M，?

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  •   设双曲线b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2 渐近线bx+ay=0,所以|-2b+0|/√(a^2+b^2)=(√10)/5,a^=9b^2 双曲线x^2-9y^2=a^2 直线y=(1/6)(x+2) 代入x^2-9y^2=a^2，x^2-(1/4)(x+2)^2=a^2,3x^2-4x-(4a^2+4)=0 设此方程根为x1,x2, 就是A,B两点横坐标，且异号。
       x1+x2=4/3,x1x2=-(4/3)(a^2+1) │PM│是│PA│和│PB│的等比中项, 由相似性质可知：│PM│在x轴上射影是│PA│和│PB│在x轴上射影的等比中项， (-2)^2=|x1+2||x2+2| 当P在AB之外时， 4=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4,-(4/3)(a^2+1)+8/3=0 a^2=1,双曲线方程为x^2-9y^2=1 当P在AB之间时， 4=-(x1+2)(x2+2)=-[x1x2+2(x1+x2)+4],(4/3)(a^2+1)-8/3-4=4 a^2=7,双曲线方程为x^2-9y^2=7 本题两解 x^2-9y^2=1或x^2-9y^2=7 。
      
    2007-01-12 10:43:05
  •    依题意曲线C是双曲线，设其方程为（bx)^-(ay)^=(ab)^,渐近线方程bx±ay=0,点P（-2，0）与其渐近线的距离为（√10）/5,∴|2b|/c=（√10）/5, ∴10b^=c^, a^=9b^…①。 设过P的斜率为1/6的直线的t参数方程为x=-2+6t,y=t…(*),把它代入(bx)^-(ay)^=(ab)^,得(36b^-a^)t^-24b^t+(4b^-a^b^)=0,∵PA=t1,PB=t2,则|PA|=√[1+(1/6)^]|t1|=√37|t1|,|PB|=√[1+(1/6)^]|t2|=√37|,∴|PA|×|PB|=37|t1·t2|=37|(4b^-a^b^)/(36b^-a^)|,把点M(0,y)代入(*)式,得t=1/3,∴|PM|=√[1+(1/6)^]|t|=√37/3, ∵│PM│是│PA│和│PB│的等比中项,∴ |PM│^=│PA│×│PB│, ∴37/9=37|4b^-a^b^|/|36b^-a^|…②,由①,②解得a^=9,b^=1,或a^=7,b^=7/9, ∴双曲线方程为x^/9-y^=1或x^/7-9y^/7=1。
       注: 用直线的t参数方程可大大减少运算量（参见解几教材）。
    2007-01-12 11:39:42
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