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如何推导出一元四次方程的求根公式？

2018-03-05 03:14:07袁***
如何推导出一元四次方程的求根公式？如何推导出一元四次方程的求根公式？：笛卡尔法：一般的四次方程还可以待定系数法解，这种方法称为笛卡尔法，由笛卡尔于1637年提出。 先将四次方程化?

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  •   笛卡尔法：一般的四次方程还可以待定系数法解，这种方法称为笛卡尔法，由笛卡尔于1637年提出。
    先将四次方程化为x^4 ax^3 bx^2 cx d=0的形式。
    令x=y-a/4，整理后得到y^4 py^2 qy r=0 （1）
    设y^4 py^2 qy r=(y^2 ky t)(y^2-ky m)=y^4 (t m-k^2)y^2 k(m-t)y tm
    比较dy对应项系数，得t m-k^2=p，k(m-t)=q，tm=r
    设k≠0，把t和m当作未知数，解前两个方程，得t=(k^3 pk-q)/(2k)，m=(k^3 pk q)/(2k)
    再代入第三个方程，得((k^3 pk)^2-q^2)/(4k^2)=r 。
      
    即k^6 2pk^4 (p^2-4r)k^2-q^2=0
    解这个方程，设kο是它的任意一根，tο和mο是k=ko时t和m的值那么方程（1）就成为 （y^2 koy to)(y^2-koy mo)=0
    解方程y^2 koy to=0和y^2-koy mo=0就可以得出方程（1）的四个根，各根加上-4/a就可以得出原方程的四个根。
      


    费拉里法
    方程两边同时除以最高次项的系数可得 x^4 bx^3 cx^2 dx e=0 (1)
    移项可得 x^4 bx^3=-cx^2-dx-e (2)
    两边同时加上(1/2bx)^2 ，可将（2）式左边配成完全平方，
    方程成为 (x^2 1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e (3)
    在（3）式两边同时加上(x^2 1/2bx)y 1/4y^2
    可得 [(x^2 1/2bx) 1/2y]^2= (1/4b^2-c y)x^2 (1/2by-d)x 1/4y^2-e (4)
    （4）式中的y是一个参数。
      当（4）式中的x为原方程的根时，不论y取什么值，（4）式都应成立。特别，如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程。
    为了使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，只需使它的判别式变成0，即 (1/2by-d)^2-4(1/4b^2-c y)(1/4y^2-e)=0 (5)
    这是关于y的一元三次方程，可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。
      
    把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的两边都成为完全平方，两边开方，可以得到两个关于x的一元二次方程。 解这两个一元二次方程，就可以得出原方程的四个根。
    2018-03-05 19:14:07
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