初中数学动点题一道,急如图,直线y=-(3分之根号3)x+1与x
2009-03-20 22:49:38j***
如图,直线y=-(3分之根号3)x+1与x轴y轴分别交于B、A两点,以AB为直角边的等腰直角三角形ABC的顶点C在第一象限且∠ABC=90度
(1)求A、B点坐标 (这问不用做,答案是A(0,1)B(根号3,0))
(2)将△ABC以每秒1个单位长度的速度延x轴平行移动,移动时间为t(秒)平移后三角形记作△AtBtCt,设平移过程中△AtBtCt与四边形AOBC重叠部分面积为S。试探究S与t的关系式并写出自变量t的取值范围(有三种情况)初中数学动点题一道,急如图,直线y=-(3分之根号3)x+1与x轴y轴分别交于B、A两点,以AB为直角边的等腰直角三角形ABC的顶点C在第一象限且∠ABC=90?
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试探究S与t的关系式并写出自变量t的取值范围(有三种情况) 因为△ABC是是沿x轴平行移动,所以B点始终在x轴上,并且AB、BC的方向均不变。所以,点C已知是在一条平行于x轴的直线上移动(如图中最上端平行于x轴的红色直线) 那么: i) 当△ABC沿x轴的正方向移动时 由(1)知道,Rt△AOB中,AO=1,BO=√3 所以,由勾股定理有AB=2 则,∠ABO=30°,且BC=AB=2 若△ABC的顶点刚好移动到BC上,因为AtBt//AB 所以,∠AtBtB=∠ABO=30°,且AtBt=AB=2 所以,BBt=2*(√3/2)=√3 因为△ABC的移动速度为1单位/s,所以: t=(√3)/1=√3 s 那么,当t≥√3 s时,△AtBtCt就与四边形AOBC没有重叠部分(t=√3 s时,At点正好在BC上,但是它们重叠的面积可以认为是0),故此时S=0 当0≤t<√3 s时,△AtBtCt就与四边形AOBC有重叠部分。
此时,设AtBt与BC相交于点D,AtCt与BC相交于点E 那么,BBt=t*1=t 因为AtBt//AB,所以:∠DBtB=30° 那么:DBt=BBt*(√3/2)=(√3/2)t 所以,AtD=AtBt-DBt=2-(√3/2)t 而,△AtDE仍然是等腰直角三角形,所以:DE=AtD 所以,它们重叠部分的面积(图中蓝色部分)S=(1/2)*AtD*DE =(1/2)*[2-(√3/2)t]^2 所以,当△ABC沿x轴正方向移动时,就有: 当0≤t<√3 s时,S=(1/2)*[2-(√3/2)t]^2 当t△≥√3 s时,S=0 ii) 当△ABC沿x轴负方向移动时 若A点刚好落在BtCt上,那么: 因为BtCt//BC,而BC⊥AB 所以,BtCt⊥AB 即,△BABt为直角三角形 而,∠ABBt=30°,AB=2 所以,BBt=AB/(√3/2)=4√3/3 因为△ABC的移动速度为1单位/s,所以: t=(4√3/3)/1=4√3/3 s 那么,当t△≥4√3/3 s时,△AtBtCt就与四边形AOBC没有重叠部分(t=4√3/3 s时,A点正好在BtCt上,但是它们重叠的面积可以认为是0),故此时S=0 又,当B点运动到O点时,t=(√3)/1=√3 s 所以,当0≤t≤√3 s时,△AtBtCt就与四边形AOBC有重叠部分。
此时,设AB与BtCt相交于点P,AC与BtCt相交于点Q,AtBt与AO相交于点M。
那么,重叠部分的面积S由两部分构成,一个是等腰直角三角形APQ,一个是直角梯形AMBtP 那么,BBt=t*1=t 因为∠ABO=30° 那么,PB=BBt*(√3/2)=(√3/2)t,PBt=BBt*(1/2)=t/2 且OBt=OB-BBt=√3-t 而,MBt//AB,所以:∠MBtO=30° 所以,AP=AB-PB=2-(√3/2)t MBt=OBt/(√3/2)=(√3-t)/(√3/2)=(6-2√3t)/3 而,△APQ仍然是等腰直角三角形,所以:PQ=AP 所以,等腰直角△APQ的面积S1=(1/2)*AP*PQ =(1/2)*[2-(√3/2)t]^2 而,直角梯形AMBtP的面积S2=(1/2)*[MBt+AP]*BtP =(1/2)*[(6-2√3t)/3+2-(√3t/2)]*(t/2) 所以,它们重叠部分的面积(图中灰色部分)S=S1+S2 =(1/2)*[2-(√3/2)t]^2+(1/2)*[(6-2√3t)/3+2-(√3t/2)]*(t/2) =[(9-7√3)/24]t^2-(√3-1)t+2 当√3 s<t<4√3/3 s时,它们重叠的部分就是一个三角形 仍然设AtBt与AO相交于点M,AB与BtCt相交于点P,AC与BtCt相交于点Q,那么它们重叠的部分就是△AMQ(图中紫色部分) 此时,仍然有: BBt=t,PB=BBt*(√3/2)=√3t/2 AP=AB-BP=2-(√3t/2) 此时,△APQ仍为等腰直角三角形,所以:PQ=AP=2-(√3t/2) 而,∠AMP=∠OMBt=∠ABO=30° 所以,MP=AP*√3=2√3-(3t/2) 所以,QM=PQ+PM=2-(√3t/2)+2√3-(3t/2)=(2+2√3)-[(3+√3)t/2] 由于MQ//BC,而BC⊥AB 所以,MQ⊥AP 即,AP为△AMQ的高 则,重叠部分的面积S=(1/2)*QM*AP =(1/2)*[2+2√3t-(3+√3)t/2]*[2-(√3t/2)] =(3-3√3)t^2/4-(3t/2)+2。
2009-03-21 01:21:07
2009-03-21 12:56:13
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