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对边和相等的四边形有内切圆，这个命题凹四边形成立不？对边和相等的

2009-11-05 21:37:24数***
对边和相等的四边形有内切圆.....，请给个证明对边和相等的四边形有内切圆，这个命题凹四边形成立不？对边和相等的四边形有内切圆.....，请给个证明：已知 在凸四边形ABCD中，AB+CD=BC+AD。 求?

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  •   已知 在凸四边形ABCD中，AB+CD=BC+AD。 求证 四边形ABCD有内切圆。 证1 设∠A,∠B的平分线交于点O,过O分别作AB,BC,CD,DA的垂线，垂足分别是E,F,G,H。连结OC,OD。则 △AHO≌△AEO,△BEO≌△BFO(ASA),所以0H=0E=OF，AH=AE,BE=BF。
       因AB+CD=BC+AD，故DH+CE=CD。把△CFO和△DHO向△CDO内翻折，则点F,H至点G,换句话说，△CFO和△DHO拼接成的△CDO’≌△CDO(SSS),于是OG=0H=0E=OF,四边形ABCD有内切圆。 证2（同一法）设∠A,∠B的平分线交于点O,过O作AB的垂线，垂足为E。
      以O为圆心，OE为半径作圆，分别切BC,AD于F,H,过C作CD’,与圆O切于G,与射线AD交于D’。则 AE=AH,BE=BF,CG=CF,D’G=D’H, 所以AB+CD’=BC+AD’。 已知AB+CD=BC+AD，两式相减得∣CD-CD’∣=DD’。
      若DD’≠0，则有△CDD’的两边之差等于第三边，矛盾。所以D’与D重合，四边形ABCD有内切圆。 。
    2009-11-12 17:16:38
  • 问题 试证:对边之和相等的四边形必有内切圆。 命题 已知 在四边形ABCD中，AB+CD=BC+AD。求证 四边形ABCD有内切圆。 证明 不妨设AB>AD,BC>CD，因为AB+CD=BC+AD，所以AB-AD=BC-CD。在AB上取点M, 使AM=AD; 在BC上取点N, 使CN=CD，所以BM=BN。即△ADM, △CDN, △BMN都是等腰三角形。故A,B,C三角的平分线，必是△DMN三边的垂直平分线，它们交于一点O，O点到四边形ABCD的四边的距离相等，所以必存在以O为中心一圆内切四边形。
    2009-11-06 09:46:34
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