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椭圆问题离心率的取值范围已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2

2010-03-18 14:33:041***
离心率的取值范围。 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的任一点到其上顶点的最大距离等于该椭圆的中心到其准线的距离，则该椭圆的离心率的取值范围是多少？椭圆问题离心率的取值范围。已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(ab0)上的任一点到其上顶点的最大距离等于该椭圆的中心到其准线的距离，则该?

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  •   点P(acost,bsint)到点B(0,b)的距离 |PB|^2=(acost)^2+(bsint-b)^2 =a^2*(cost)^2+b^2*[(sint)^2-2sint+1] =a^2*[1-(sint)^2]+b^2*[(sint)^2-2sint+1] =(b^2-a^2)(sint)^2-2b^2*sint+a^2+b^2 =(b^2-a^2)[sint-b^2/(b^2-a^2)]^2+a^4/(a^2-b^2）， 当a^2>=2b^2时|PB|的最大值=a^2/c,这里c=√（a^2-b^2); 依题意a^2=(√2）/2。
       当a^2<2b^2，sint=-1时|PB|的最大值=2b。依题意 a^2<2(a^2-c^2),且2b=a^2/c, 前者即0   ∴该椭圆的离心率的取值范围是[(√2）/2，1）。 。
    2010-03-18 15:32:00
  • 解:椭圆中心到其准线的距离是d=a^2/c. 椭圆的下顶点到上顶点的距离是2b.由于到上顶点的最大距离等于d,则有2b<=d. 当2b=d时,2b=a^2/c 2bc=b^2+c^2,得b=c a^2=b^2+c^2=2c^2 e^2=c^2/a^2=1/2 e=根号2/2 所以,e的范围是02010-03-18 15:29:15
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