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不等式难题求a的取值范围，使得对任意实数x和任意A属于0,pi

2007-11-17 13:37:51请***
求a的取值范围，使得对任意实数x和任意A属于[0,pi/2]恒有(x+3+2sinAcosA)^2+(x+asinA+acosA)^2>=1/8.不等式难题求a的取值范围，使得对任意实数x和任意A属于[0,pi/2]恒有(x+3+2sinAcosA)^2+(x+asinA+acosA)^2=1/8?

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  •   解：原不等式等价于(3+2sinAcosA-asinA-acosA)²≥1/4 x∈[0,π/2]……(1) 由(1)得a≥(3+2sinAcosA+1/2)/(sinA+cosA)……(2) 或者a≤(3+2sinAcosA-1/2)/(sinA+cosA)……(3) 在(2)中,√2≥sinA+cosA≥1 (3+2sinAcosA+1/2)/(sinA+cosA)=(sinA+cosA)+3/[2(sinA+cosA)] 显然当1≤x≤√2时,f(x)=x+5/2x为减函数,从而上式最大值为f(x)=1+5/2=7/2。
       由此可得a≥7/2。 在(3)中,由于 (3+2sinAcosA-1/2)/(sinA+cosA)=(sinA+cosA)+3/[2(sinA+cosA)] ≥2√(3/2)=√6。 当且仅当sinA+cosA=√6/2时,等号成立,从而 (3+2sinAcosA-1/2)/(sinA+cosA)最小值为√6。
       所以a≤√6。 综上所述a≥7/2 或者 a≤√6。
    2007-11-17 14:17:55
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