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几何证明在ΔABC中，BC边上的高AD与中线AP之和等于边BC之

2008-09-04 08:19:51大***
在ΔABC中，BC边上的高AD与中线AP之和等于边BC之半，H为垂心。 求证: HD=BC。 几何证明在ΔABC中，BC边上的高AD与中线AP之和等于边BC之半，H为垂心。求证:HD=BC。：在ΔABC中，BC边上的高AD与中线AP之和等于边BC之半，H?

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  •   在ΔABC中，BC边上的高AD与中线AP之和等于边BC之半，H为垂心。 求证: HD=BC。 证明 由题设可知，垂心H在DA的延长线上，点A是△HBC的垂心。 ∵∠AHB=∠ACD，∴Rt△ACD∽Rt△BHD，AD/BD=CD/HD。
       即AD=BD*CD/HD。 又易知PD=︱CD-BD︱/2。所以 PA^2=AD^2+PD^2= BD^2*CD^2/HD^2+(CD-BD)^2/4 =[4BD^2*CD^2+HD^2*(BC^2-4CD*BD)]/(4HD^2)。
       (1) 已知AD+AP=BC/2， AP=BC/2-AD。 AP^2=(BC/2-AD)^2=(BC/2- BD*CD/HD)^2 =[BC^2*HD^2-4BD*CD*BC*HD+4BD^2*CD^2]/(4HD^2) (2) 对比(1),(2)得: BD*CD*BC*HD= HD^2*CD*BD， 所以HD=BC。
      证毕。 。
    2008-09-08 20:44:11
  • 在△ABC中，BC边上的高AD与中线AP之和等于边BC之半，H为垂心。 求证: HD=BC 如图：∵H是△ABC的垂心，∴A是△HBC的垂心 --->Rt△HDC∽Rt△BDA(AAA)--->HD:BD=CD:AD --->HD•AD=BD•CD = (BP+DP)(CP-DP) 　　　　　　　　= BP²-DP² 　　　　　　　　= (AP+AD)²-(AP²-AD²) 　　　　　　　　= 2AP•AD + 2AD² 　　　　　　　　= 2AD(AP+AD) 　　　　　　　　= 2AD•BP --->HD=2BP=BC
    2008-09-04 10:02:54
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