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求急,一道初中几何题已知:如图,AB为圆O直径,弦CD垂直AB于

2009-04-18 09:54:50水***
已知: 如图,AB为圆O直径,弦CD垂直AB于M点,P为DC 延长线上一点,过点P作圆O的切线交AB的延长线于Q点,E为切点,连接AE交CD于F,连接QC交圆O于G点,连接DG交AB于H点 求证:EH垂直于AB 注: 用初中的方法解,不要建立平面直角坐标系求急,一道初中几何题已知:如图,AB为圆O直径,弦CD垂直AB于M点,P为DC延长线上一点,过点P作圆O的切线交AB的延长线于Q点,E为切点,连接AE交CD于F?

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  • 简证如下: 连OC,OD,OE 易知∠DGC=1/2∠DOC=∠AOC ==>C.O.H.G共圆 ==>QH*QO=QG*QC (若未学四点共圆,则可通过△QGH∽△QOC也可方便得到此结果) QE切⊙O于E==>QE^2=QG*QC ==>QE^2=QH*QO==>QE/QO=QH/QE ∠EQO=∠HQE ==>△QEO∽△QHE==>∠OEQ=∠EHQ PQ为切线==>OE⊥PQ==>∠OEQ=90 ==>∠EHQ=90==>EH⊥AB
    2009-04-18 11:37:15
  • 我看了好久,觉得这题多了好多不必要的线与条件,造成思考上的弯路。 本题可改为(与原题等价): 已知:Q是直径AB延长线上一点,CD是圆O的弦,CD⊥AB, CQ交圆O于G,OG交AB于H,QE是圆的切线,E为切点。 求证:EH⊥AB 分析:出现切线一般要用切线的性质;切线垂直于过比线的直径(半径),因此连结OE,要证EH⊥OQ, 只需证明△OHE~△OEQ,只需证明OE^2=OH*OQ 证明: 连结OD,OE,OG,过D作切线DN, ∵∠ODG+∠NDH= ∠C+∠CQM=90°, ∠NDH=∠C, ∴ ∠ODG=∠OQG=∠OGH, ∴△OGH~△OQG, ∴OG^2=OH*OQ,(从比例变来) OG=OE, ∴OE^2=OH*OQ,OE/OH=OQ/OE ∴△OHE~△OEQ, ∴∠OHE=∠OEQ=90°,EH⊥AB.
    2009-05-02 10:29:02
  •   我的解答是提交成功的,不知道是怎么被删掉?是不是你换了一个地方了? 楼上【阿炳】先生的证明完全正确,你还要补充问题:E不一定是BC弧的中点,还要提高悬赏征求“正确”解答。 最佳答案就是楼上【阿炳】先生的,你加分加到100分,也还就是他,整个证明没有用到“E是BC弧的中点”这个条件,就充分说明了【E不一定是BC弧的中点】。
       我怀疑你遇到了一个笨老师,把一个很简单的问题,多画了很多线很多点。对【阿炳】先生的这个正确证明不承认,不接受。 【简洁的题意实际上如下】Q是⊙O直径AB延长线上一点,QE与⊙O相切,E是切点,C是AE弧上任意一点,弦CD与AB垂直,QC交⊙O于G,DG交AB于H。
      求证EH⊥AB。 原题对M点没有要求,等价于【C是AE弧上任意一点】,这样点M、F、P及线AE都是多余的。 我本来证明也在网上打的,现在尸骨难收,我也没有别出心裁的证明了,全部照抄,没有本质的改动,多了一些文字说明: 连接OC,OD,OE 易知∠DGC=1/2∠DOC=∠AOC(圆周角和圆心角的关系), 所以∠QGH=∠QOC(补角关系), 所以 △QGH∽△QOC,所以有① QH*QO=QG*QC 因为QE切⊙O于E,所以有②QE^2=QG*QC(切割线定理) 根据①和②可得③QE^2=QH*QO, 再注意到QO是Rt△QOE的斜边,QE是Rt△QOE的一条直角边, 根据可知QH就是直角边QE在斜边QO上的投影(投影定理)。
       所以EH⊥QO,即EH⊥AB。 对不起发错图了。。。。。。 。
    2009-05-01 14:28:14
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