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曲线积分证明题证明:若函数f(x,y)与g(x,y)在平面光滑曲

2009-10-20 11:49:56h***
证明:若函数f(x,y)与g(x,y)在平面光滑曲线C(A,B)连续,且对任意(x,y) ∈C(A,B),有f(x,y) ≤g(x,y),则∫C(A,B)[ f(x,y)]ds≤∫C(A,B)[ g(x,y)]ds.曲线积分证明题证明:若函数f(x,y)与g(x,y)在平面光滑曲线C(A,B)连续,且对任意(x,y)∈C(A,B),有f(x,y)≤g(x,y),则∫C(A,?

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  •   【这是第一型曲线积分的“保序性”，是“保号性”的一个推论，当然还用到了线性性质】 令F(x,y)=g(x,y)-f(x,y)，则对任意(x,y) ∈C(A,B),有F(x,y)≥0。 所以∫C(A,B)[F(x,y)]ds≥0， 即∫C(A,B)[g(x,y)]ds≥∫C(A,B)[f(x,y)]ds。
       【如果你认为，保号性和线性性质也不能直接引用，我就用原始定义来证明】 弧段的任意分割与小弧段上任意取点，不详细写了， f(αi,βi)≤g(αi,βi) → f(αi,βi)△si≤g(αi,βi)△si → Σf(αi,βi)△si≤Σg(αi,βi)△si → lim(λ→0) Σ f(αi,βi)△si≤limlim(λ→0) Σ g(αi,βi)△si, λ=max(△s1,△s2,……，△sn) 所以 ∫C(A,B)[ f(x,y)]ds≤∫C(A,B)[ g(x,y)]ds。
       证明的关键就是：对于每个 i 都有 △si＞0。 。
    2009-10-20 14:32:59
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